1. 如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形. 她用手中仅有的一根长绳进行测量与比较，下列方法合理的是()

A.检查是否有 $ AC = BD $
B.检查是否有 $ AB = DC $，$ AD = BC $
C.检查是否有 $ AB = DC $，$ AD = BC $，$ AC = BD $
D.检查是否有 $ AB + BC = AD + DC $

C

2. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ OA = OC $，$ OB = OD $，添加下列条件，不能判定四边形 $ ABCD $ 是矩形的是()

A.$ AB = AD $
B.$ OA = OB $
C.$ AB ⊥ AD $
D.$ ∠ ABO = ∠ BAO $

A

3. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $. 动点 $ E $ 在线段 $ AO $ 上从点 $ A $ 以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度运动，同时点 $ F $ 在线段 $ CO $ 上从点 $ C $ 以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度运动，若 $ AC = 12 $，$ BD = 8 $，则经过s 后，四边形 $ BEDF $ 是矩形.

2

【分析】
首先，我们结合平行四边形和矩形的判定定理来分析解题思路：
1. 利用平行四边形的性质，可知其对角线互相平分，因此在$□ABCD$中，$OA=OC=6$，$OB=OD=4$。
2. 动点$E$、$F$速度相同，运动时间为$t$秒时，$AE=CF=t$，可表示出$OE$和$OF$的长度，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，确定四边形$BEDF$为平行四边形。
3. 再根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，建立关于$t$的方程，求解即可得到运动时间。
【解析】
设经过$ t $秒后，四边形$ BEDF $是矩形。
1. 因为四边形$ ABCD $是平行四边形，且$ AC=12 $，$ BD=8 $，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$ OA=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6 $，$ OB=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4 $。
2. 由题意，动点$ E $、$ F $的速度均为每秒1个单位长度，所以$ AE=CF=t $，
则$ OE=OA - AE=6 - t $，$ OF=OC - CF=6 - t $，
因此$ OE=OF $，又因为$ OB=OD $，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$ BEDF $是平行四边形。
3. 要使平行四边形$ BEDF $是矩形，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，需满足$ EF=BD $。
其中$ EF=OE + OF=(6 - t)+(6 - t)=12 - 2t $，且$ BD=8 $，
由此列方程：
$ 12 - 2t=8 $，
解方程得：$ 2t=12-8 $，$ t=2 $。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，动点问题
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的性质和判定的综合应用，核心是利用矩形的判定定理结合动点的运动特点建立方程求解，需要熟练掌握特殊四边形的性质与判定，同时运用方程思想解决动点问题。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 12 $，$ BC = 5 $，$ P $ 为斜边 $ AB $ 上一动点，过点 $ P $ 作 $ PE ⊥ AC $，$ PF ⊥ BC $，垂足为 $ E $，$ F $，连接 $ EF $，则线段 $ EF $ 的最小值为.

$​ \frac {60}{13}​$