变式训练 已知正比例函数 $ y = (1 - 2a)x $.
(1) 若点 $ A(x_1,y_1) $ 和点 $ B(x_2,y_2) $ 为函数图象上的两点，且 $ x_1 ＜ x_2 $，$ y_1 ＞ y_2 $，求 $ a $ 的取值范围.
(2) 若函数的图象经过点 $ (-1,2) $，①求此函数解析式；②如果 $ x $ 的取值范围是 $ -1 ≤ x ≤ 5 $，求 $ y $ 的取值范围.

【解析】：
(1) 因为 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $，所以 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，正比例函数 $ y = kx $ 中，$ k ＜ 0 $ 时函数单调递减。则 $ 1 - 2a ＜ 0 $，解得 $ a ＞ \frac{1}{2} $。
(2) ① 函数图象经过点$(-1, 2)$，代入得$2 = (1 - 2a)(-1)$，即$2 = -1 + 2a$，解得$2a = 3$，$a = \frac{3}{2}$，所以函数解析式为$y = (1 - 2×\frac{3}{2})x = -2x$。
② 函数$y = -2x$中，$k = -2 ＜ 0$，$y$随$x$的增大而减小。当$x = -1$时，$y = -2×(-1) = 2$；当$x = 5$时，$y = -2×5 = -10$。所以$y$的取值范围是$-10 ≤ y ≤ 2$。
【答案】：
(1) $ a ＞ \frac{1}{2} $
(2) ① $ y = -2x $；② $ -10 ≤ y ≤ 2 $

(1) 因为 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $，所以 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，正比例函数 $ y = kx $ 中，$ k ＜ 0 $ 时函数单调递减。则 $ 1 - 2a ＜ 0 $，解得 $ a ＞ \frac{1}{2} $。
(2) ① 函数图象经过点$(-1, 2)$，代入得$2 = (1 - 2a)(-1)$，即$2 = -1 + 2a$，解得$2a = 3$，$a = \frac{3}{2}$，所以函数解析式为$y = (1 - 2×\frac{3}{2})x = -2x$。
② 函数$y = -2x$中，$k = -2 ＜ 0$，$y$随$x$的增大而减小。当$x = -1$时，$y = -2×(-1) = 2$；当$x = 5$时，$y = -2×5 = -10$。所以$y$的取值范围是$-10 ≤ y ≤ 2$。

1. 下列图象中，表示正比例函数图象的是()

A.
B.
C.
D.

A

正比例函数的图象是过原点的直线。选项A是过原点的直线，符合；选项B不过原点，选项C是两条射线，选项D不过原点。

2. 经过下列一组点可以画出函数 $ y = 2x $ 图象的是()

A.$ (0,0) $ 和 $ (2,1) $
B.$ (1,2) $ 和 $ (-1,-2) $
C.$ (1,2) $ 和 $ (2,1) $
D.$ (-1,2) $ 和 $ (1,2) $

B

对于选项A：
点$(0,0)$代入$y=2x$，满足$0=2×0$；
点$(2,1)$代入$y=2x$，不满足$1=2×2$，因此A错误。
对于选项B：
点$(1,2)$代入$y=2x$，满足$2=2×1$；
点$(-1,-2)$代入$y=2x$，满足$-2=2×(-1)$，因此B正确。
对于选项C：
点$(1,2)$满足，但点$(2,1)$不满足$y=2x$，因此C错误。
对于选项D：
点$(-1,2)$代入$y=2x$，不满足$2=2×(-1)$，因此D错误。

3. 下列关于正比例函数 $ y = -2x $ 的结论中，正确的是()

A.当 $ x = 1 $ 时，函数值为 $ 2 $
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
C.它的图象经过第一、第三象限
D.它的图象一定不经过点 $ (m + 1,-2m) $

D

A选项：当$x = 1$时，$y=-2×1 = - 2≠2$，所以A选项错误。
B选项：对于正比例函数$y = kx$（$k$为常数），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，在$y = - 2x$中$k=-2＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小，B选项错误。
C选项：当$k＜0$时，正比例函数$y = kx$的图象经过第二、四象限，在$y = - 2x$中$k = - 2＜0$，所以它的图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，C选项错误。
D选项：假设图象经过点$(m + 1,-2m)$，则$-2m=-2(m + 1)$，即$-2m=-2m-2$，此方程无解，所以它的图象一定不经过点$(m + 1,-2m)$，D选项正确。

4. 已知 $ P_1(1,y_1) $，$ P_2(2,y_2) $ 在正比例函数 $ y = -\frac{1}{4}x $ 的图象上，则 $ y_1 \_\_\_\_\_\_ y_2 $ (填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”).

＞

已知$ P_1(1, y_1) $和$ P_2(2, y_2) $在正比例函数$ y = -\frac{1}{4}x $的图象上，将坐标代入函数解析式：
$ y_1 = -\frac{1}{4} × 1 = -\frac{1}{4} $，
$ y_2 = -\frac{1}{4} × 2 = -\frac{1}{2} $。
由于$ -\frac{1}{4} ＞ -\frac{1}{2} $，因此$ y_1 ＞ y_2 $。

5. 如图，已知正比例函数的图象经过点 $ A $，点 $ A $ 在第四象限，过点 $ A $ 作 $ AH ⊥ x $ 轴，垂足为 $ H $，点 $ A $ 的横坐标为 $ 3 $，且 $ △ AOH $ 的面积为 $ 3 $.
(1) 求正比例函数的解析式.
(2) 在 $ x $ 轴上能否找到一点 $ P $，使 $ △ AOP $ 的面积为 $ 5 $？若存在，求点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

(1) 设正比例函数解析式为$y=kx$。
∵点$A$在第四象限，横坐标为$3$，设$A(3,y)$，$y＜0$。
$AH ⊥ x$轴，$H(3,0)$，$OH=3$，$AH=|y|=-y$。
$S_{△ AOH}=\frac{1}{2} × OH × AH=3$，即$\frac{1}{2} × 3 × (-y)=3$，解得$y=-2$。
∴$A(3,-2)$，代入$y=kx$得$-2=3k$，$k=-\frac{2}{3}$。
∴正比例函数解析式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在。设$P(p,0)$，$S_{△ AOP}=5$。
$A$到$x$轴距离为$2$，$OP=|p|$，则$\frac{1}{2} × |p| × 2=5$，$|p|=5$，$p=\pm5$。
∴点$P$坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。

1. 一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象，可由直线 $ y = kx(k ≠ 0) $ 上下平移 $ |b| $ 个单位长度得到，当 $ b ＞ 0 $ 时，向平移；当 $ b ＜ 0 $ 时，向平移。

上；下

一次函数$y = kx + b(k ≠ 0)$的图象是由直线$y = kx(k ≠ 0)$平移得到的。根据一次函数图象平移规律，当$b＞0$时，向上平移$|b|$个单位；当$b＜0$时，向下平移$|b|$个单位。

2. 一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 图象的性质：
(1) 当 $ k ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而；当 $ k ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而。
(2) 当 $ k ＞ 0,b ＞ 0 $ 时，图象经过第象限；当 $ k ＞ 0,b ＜ 0 $ 时，图象经过第象限；当 $ k ＜ 0,b ＞ 0 $ 时，图象经过第象限；当 $ k ＜ 0,b ＜ 0 $ 时，图象经过第象限。

(1) 增大；减小；
(2) 一、二、三；一、三、四；一、二、四；二、三、四。

(1) 根据一次函数的单调性，当斜率 $k ＞ 0$ 时，函数为增函数，即 $y$ 随 $x$ 的增大而增大；当斜率 $k ＜ 0$ 时，函数为减函数，即 $y$ 随 $x$ 的增大而减小。
(2)对于一次函数 $y = kx + b$，其图象是一条直线，该直线与y轴的交点为 $(0,b)$，斜率为 $k$。
当 $k ＞ 0,b ＞ 0$ 时，由于斜率和截距均大于0，可知直线从左下方到右上方上升，且与y轴交于正半轴，所以图象经过第一、二、三象限。
当 $k ＞ 0,b ＜ 0$ 时，由于斜率大于0而截距小于0，可知直线从左下方到右上方上升，且与y轴交于负半轴，所以图象经过第一、三、四象限。
当 $k ＜ 0,b ＞ 0$ 时，由于斜率小于0而截距大于0，可知直线从左上方到右下方下降，且与y轴交于正半轴，所以图象经过第一、二、四象限。
当 $k ＜ 0,b ＜ 0$ 时，由于斜率和截距均小于0，可知直线从左上方到右下方下降，且与y轴交于负半轴，所以图象经过第二、三、四象限。