1. 画正比例函数 $ y = kx(k ≠ 0) $ 的图象时，通常取和两个点连线即可.

$(0,0)$；$(1,k)$

2. 正比例函数 $ y = kx(k ≠ 0) $ 的图象是经过原点的直线. 当 $ k ＞ 0 $ 时，图象经过象限，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ k ＜ 0 $ 时，图象经过象限，$ y $ 随 $ x $ 的增大而.

一、三；增大；二、四；减小

思考 画正比例函数的图象时，只能选取 $ (0,0) $ 和 $ (1,k) $ 这两个点吗？

解：不是。
正比例函数$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），除了$(0,0)$和$(1,k)$这两个点外，还可以选取其他的点，例如当$x = 2$时，$y = 2k$，得到点$(2,2k)$；当$x=-1$时，$y=-k$，得到点$(-1,-k)$等，只要满足函数关系式$y = kx$的点都可以用来画正比例函数的图象。
一般来说，为了方便，通常选取$(0,0)$和$(1,k)$这两个点来画正比例函数的图象。

填空 请写出一个图象经过原点的函数的解析式：.

$y = x$（答案不唯一）

例1 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 $ y = -2x $，$ y = \frac{1}{3}x $ 的图象.

(1) 列表：

(2) 描点、连线.
(3) 观察函数 $ y = -2x $，$ y = \frac{1}{3}x $ 的图象，你有什么发现？

(1) 列表：
$\begin{array}{c|ccc}x& ··· &0 & 3 &··· \\ \hline y = -2x &··· & 0 & -6 &··· \\ \hline y = \frac{1}{3}x &··· & 0 &1 &··· \\\end{array}$
(2) 描点、连线：
在平面直角坐标系中，根据列表中的点描出 $y = -2x$ 和 $y = \frac{1}{3}x$ 的点，然后用直线连接各点，得到两条直线。
(3) 观察函数 $y = -2x$，$y = \frac{1}{3}x$ 的图象：
$y = -2x$ 的图象是一条下降的直线，斜率为负；
$y = \frac{1}{3}x$ 的图象是一条上升的直线，斜率为正。

变式训练 已知正比例函数 $ y = kx(k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ (3,-6) $.
(1) 求这个函数的解析式；
(2) 用你认为最简单的方法画出这个函数的图象.

【解析】：
(1) 因为正比例函数 $ y = kx(k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ (3,-6) $，将 $ x = 3 $，$ y = -6 $ 代入函数得：$ -6 = 3k $，解得 $ k = -2 $，所以函数解析式为 $ y = -2x $。
(2) 取两点：当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 $，得点 $ (0,0) $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = -2 $，得点 $ (1,-2) $。在平面直角坐标系中描出这两点，过两点画直线即可。
【答案】：
(1) $ y = -2x $；
(2) 图象略（通过点 $ (0,0) $ 和 $ (1,-2) $ 画直线）。

(1) 因为正比例函数 $ y = kx(k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ (3,-6) $，将 $ x = 3 $，$ y = -6 $ 代入函数得：$ -6 = 3k $，解得 $ k = -2 $，所以函数解析式为 $ y = -2x $。
(2) 取两点：当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 $，得点 $ (0,0) $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = -2 $，得点 $ (1,-2) $。在平面直角坐标系中描出这两点，过两点画直线即可。

例2 已知正比例函数 $ y = (k + 3)x $.
(1) 当 $ k $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(2) 当 $ k $ 为何值时，函数图象经过点 $ (1,1) $？
(3) 若 $ k = 1 $，当 $ -2 ≤ y ≤ 2 $ 时，求自变量 $ x $ 的取值范围.

(1) 对于正比例函数 $ y = (k + 3)x $，当比例系数小于 0 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
$ k + 3 ＜ 0 $，解得 $ k ＜ -3 $。
(2) 函数图象经过点 $ (1,1) $，将 $ x = 1 $，$ y = 1 $ 代入函数得：
$ 1 = (k + 3) × 1 $，解得 $ k = -2 $。
(3) 当 $ k = 1 $ 时，函数为 $ y = 4x $。
当 $ y = -2 $ 时，$ -2 = 4x $，解得 $ x = -\frac{1}{2} $；
当 $ y = 2 $ 时，$ 2 = 4x $，解得 $ x = \frac{1}{2} $。
因为 $ k = 4 ＞ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，所以 $ x $ 的取值范围是 $ -\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2} $。
答案：(1) $ k ＜ -3 $；(2) $ k = -2 $；(3) $ -\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2} $

(1) 对于正比例函数 $ y = (k + 3)x $，当比例系数小于 0 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
$ k + 3 ＜ 0 $，解得 $ k ＜ -3 $。
(2) 函数图象经过点 $ (1,1) $，将 $ x = 1 $，$ y = 1 $ 代入函数得：
$ 1 = (k + 3) × 1 $，解得 $ k = -2 $。
(3) 当 $ k = 1 $ 时，函数为 $ y = 4x $。
当 $ y = -2 $ 时，$ -2 = 4x $，解得 $ x = -\frac{1}{2} $；
当 $ y = 2 $ 时，$ 2 = 4x $，解得 $ x = \frac{1}{2} $。
因为 $ k = 4 ＞ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，所以 $ x $ 的取值范围是 $ -\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2} $。