变式训练 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 m/s.
(1)求小球速度$v(\mathrm{m/s})$关于时间$t(\mathrm{s})$的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)第几秒时，小球的速度达到 6 m/s？

【解析】：(1)由题意，小球速度每秒增加2m/s，初始速度为0，所以函数解析式为$v = 2t$，它是一次函数。
(2)当$v = 6$时，$2t = 6$，解得$t = 3$，即第3秒时速度达到6m/s。
【答案】：(1)$v = 2t$，是一次函数；(2)第3秒

(1)由题意，小球速度每秒增加2m/s，初始速度为0，所以函数解析式为$v = 2t$，它是一次函数。
(2)当$v = 6$时，$2t = 6$，解得$t = 3$，即第3秒时速度达到6m/s。

1. 有下列函数：①$y = x$；②$y = -\frac{1}{x}$；③$y = \frac{x}{5}$；④$y = \frac{1}{2}x^{2} + 1$. 其中一次函数的个数是()

A.1
B.2
C.3
D.4

B

根据一次函数的定义，形如$y=kx+b$（$k≠ 0$，$k$、$b$为常数）的函数为一次函数。
①$y = x$，可写成$y=1· x+0$，符合一次函数定义。
②$y = -\frac{1}{x}$，自变量$x$在分母位置，是反比例函数，不是一次函数。
③$y = \frac{x}{5}$，可写成$y=\frac{1}{5}· x+0$，符合一次函数定义。
④$y = \frac{1}{2}x^{2} + 1$，自变量$x$的最高次数是$2$，是二次函数，不是一次函数。
所以一次函数有①③，共$2$个。

2. 已知函数$y = (k - 1)x + k^{2} - 1$，当$k$时，它是一次函数；当$k =$时，它是正比例函数.

$k ≠ 1$；$-1$

对于一次函数，需满足一次项系数不为0，即$k - 1 ≠ 0$，解得$k ≠ 1$；对于正比例函数，需满足一次项系数不为0且常数项为0，即$\begin{cases}k - 1 ≠ 0 \\ k^2 - 1 = 0\end{cases}$，由$k^2 - 1 = 0$得$k = \pm 1$，又$k ≠ 1$，所以$k = -1$。

3. 小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位$h(\mathrm{cm})$是时间$t(\mathrm{min})$的一次函数，下表是小明记录的部分数据：

当时间$t$为 12 min 时，对应的水位$h$为.

6.8

设$h=kt+b$，将$t=1,h=2.4$和$t=2,h=2.8$代入，得$\begin{cases}k+b=2.4\\2k+b=2.8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=0.4\\b=2\end{cases}$，所以$h=0.4t+2$。当$t=12$时，$h=0.4×12 + 2=6.8$。

4. 2026 年“元旦”假期，小明和父母一起开车从仁寿出发到距家 300 km 的邓小平故里旅游. 出发前，汽车油箱内已经加满油 55 L，当行驶 100 km 时，发现油箱余油量为 45 L(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的).
(1)该车平均每行驶 1 km 耗油L，在保证油箱有油的情况下，该车行驶路程$x(\mathrm{km})$与余油量$Q(\mathrm{L})$的关系式为$Q =$；
(2)当汽车到达邓小平故里时，求剩余油量$Q$的值；
(3)当油箱中剩余油量低于 4 L 时，汽车仪表盘油灯将自动报警. 中途至少要加多少升油，才能够在汽车不报警的情况下把车开回家？

(1)
该车平均每行驶$1km$耗油：$\frac{55 - 45}{100}=0.1L$；
$Q = 55 - 0.1x$（$0≤ x≤550$）。
(2)
当$x = 300$时，$Q=55 - 0.1×300=55 - 30 = 25L$。
(3)
往返总路程为$300×2 = 600km$，总耗油量为$600×0.1 = 60L$。
设中途至少要加$y$升油，则$55 + y-60≥4$，
$y≥4 + 60 - 55$，
解得$y≥9$。
答：(1) $0.1$；$55 - 0.1x$；(2) $25L$；(3) $9L$。

5. 为鼓励节约用水，某地实行阶梯水价，价目如下表：

(1)若 A 居民家 4 月份共用水 25 $\mathrm{m}^{3}$，则应交水费元.
(2)设月用水量为$x\ \mathrm{m}^{3}$，当月应交水费为$y$元. 当$x ＞ 30$时，$y =\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^{3}$.
(3)若 C 居民家 5 月、6 月用水量共 50 $\mathrm{m}^{3}$(5 月份用水量小于 6 月份用水量)，这两个月共交水费 174 元，则 C 居民家 5 月、6 月用水量分别为多少立方米？

5月18立方米，6月32立方米。

(1) 81
(2) 7x - 104
(3) 设5月用水量为$ m \, \mathrm{m}^3 $，6月用水量为$ n \, \mathrm{m}^3 $，则$ m + n = 50 $，$ m ＜ n $，$ m ＜ 25 $，$ n ＞ 25 $。
情况1：$ m ≤ 22 $，$ n ＞ 30 $
$ n = 50 - m ＞ 30 ⇒ m ＜ 20 $。
5月水费：$ 3m $；6月水费：$ 22×3 + (30-22)×5 + 7(n - 30) = 106 + 7(n - 30) $。
总水费：$ 3m + 106 + 7(50 - m - 30) = 174 $
化简得：$ 3m + 106 + 7(20 - m) = 174 ⇒ -4m + 246 = 174 ⇒ m = 18 $。
则$ n = 50 - 18 = 32 $，符合题意。
情况2：$ 22 ＜ m ＜ 25 $，$ 25 ＜ n ＜ 28 $
5月水费：$ 22×3 + 5(m - 22) $；6月水费：$ 22×3 + 5(n - 22) $。
总水费：$ [66 + 5(m - 22)] + [66 + 5(n - 22)] = 162 ≠ 174 $，舍去。
综上，5月用水量18 $ \mathrm{m}^3 $，6月用水量32 $ \mathrm{m}^3 $。