思考 ①直线 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的增减性由什么确定？与 $ y $ 轴的交点又由什么确定？②直线 $ y = kx(k ≠ 0) $ 向左(右)平移 $ |m| $ 个单位长度得到的直线的解析式是什么？
填空 把直线 $ y = -3x $ 向上平移 $ 5 $ 个单位长度得到的直线的解析式为。

$y = - 3x+5$

① 斜率$k$决定直线$y=kx + b（k ≠ 0）$的增减性，
当$k＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
$b$决定直线与$y$轴的交点，直线与$y$轴交于点$(0,b)$。
②直线$y = kx（k≠ 0）$向左平移$\vert m\vert$个单位长度得到的直线的解析式是$y=k(x + m)=kx+km$；向右平移$\vert m\vert$个单位长度得到的直线的解析式是$y=k(x - m)=kx - km$。
对于把直线$y = - 3x$向上平移$5$个单位长度，根据上加下减的原则，在$y=-3x$的基础上，常数项加上$5$，得到的直线的解析式为$y=-3x + 5$。

例 1 在同一平面直角坐标系内画出一次函数 $ y = x + 2 $ 和 $ y = x - 1 $ 的图象，并指出两个函数图象经过的象限以及两个函数图象的位置关系。
名师导引 ①直线 $ y = kx + b $ 中，$ k,b $ 的值确定直线经过的象限。从左向右看，$ k ＞ 0 $ 上升，$ k ＜ 0 $ 下降；$ b $ 的符号确定直线与 $ y $ 轴交点的位置。②直线 $ y = k_1x + b_1 $ 与 $ y = k_2x + b_2 $，当 $ k_1 = k_2 $ 时，两直线平行。

一次函数$y = x + 2$的图象经过第一、二、三象限，$y = x - 1$的图象经过第一、三、四象限，两个函数的图象平行。

1. 列表：
对于$y = x + 2$：当$x=0$时，$y=2$；当$y=0$时，$x=-2$，得点$(0,2)$，$(-2,0)$。
对于$y = x - 1$：当$x=0$时，$y=-1$；当$y=0$时，$x=1$，得点$(0,-1)$，$(1,0)$。
2. 描点、连线，画出两函数图象。
3. 分析象限：
$y = x + 2$：$k=1＞0$，$b=2＞0$，经过第一、二、三象限。
$y = x - 1$：$k=1＞0$，$b=-1＜0$，经过第一、三、四象限。
4. 位置关系：两函数$k$值均为1，故两直线平行。

变式训练 一次函数 $ y = 2x - 3 $ 的图象不经过()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

B

对于一次函数 $y = kx + b$，其中 $k$ 为斜率，$b$ 为截距。
当 $k ＞ 0$，$b＞ 0$ 时，函数图象经过一、二、三象限；
当 $k ＞ 0$，$b＜ 0$ 时，函数图象经过一、三、四象限；
当 $k ＜ 0$，$b＞ 0$ 时，函数图象经过一、二、四象限；
当 $k ＜ 0$，$b＜ 0$ 时，函数图象经过二、三、四象限。
在一次函数 $y = 2x - 3$ 中，$k = 2＞ 0$，$b = - 3＜ 0$，所以函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限。

例 2 已知一次函数 $ y = -2x - 6 $。
(1) 画出函数的图象；
(2) 求图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点 $ A,B $ 的坐标；
(3) 求 $ △ AOB $ 的面积；
(4) 利用图象求当 $ x $ 为何值时，$ y ＞ 0 $。

名师导引 直线 $ y = kx + b $ 与 $ x $ 轴，$ y $ 轴分别交于点 $ (-\frac{b}{k},0) $ 和 $ (0,b) $，这两个点及原点所构成的三角形是重点知识之一。

【解析】：
(1) 列表：当$x=0$时，$y=-6$；当$y=0$时，$-2x - 6=0$，解得$x=-3$。在坐标系中描出点$(0,-6)$和$(-3,0)$，过两点画直线即可。
(2) 令$y=0$，$-2x - 6=0$，$x=-3$，所以$A(-3,0)$；令$x=0$，$y=-6$，所以$B(0,-6)$。
(3) $OA=|-3|=3$，$OB=|-6|=6$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×3×6=9$。
(4) 观察图象，当$x ＜ -3$时，函数图象在$x$轴上方，即$y ＞ 0$。
【答案】：
(1) 图象略；
(2) $A(-3,0)$，$B(0,-6)$；
(3) 9；
(4) $x ＜ -3$

(1) 列表：当$x=0$时，$y=-6$；当$y=0$时，$-2x - 6=0$，解得$x=-3$。在坐标系中描出点$(0,-6)$和$(-3,0)$，过两点画直线即可。
(2) 令$y=0$，$-2x - 6=0$，$x=-3$，所以$A(-3,0)$；令$x=0$，$y=-6$，所以$B(0,-6)$。
(3) $OA=|-3|=3$，$OB=|-6|=6$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×3×6=9$。
(4) 观察图象，当$x ＜ -3$时，函数图象在$x$轴上方，即$y ＞ 0$。

变式训练 如图，已知一次函数 $ y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} $ 的图象与 $ x $ 轴，$ y $ 轴分别交于点 $ A,B $，点 $ C,D $ 均在该函数图象上。
(1) 判断点 $ (\frac{5}{4},0) $ 是否在直线 $ AB $ 上，并说明理由。
(2) 当 $ -1 ≤ y ≤ 3 $ 时，求 $ x $ 的取值范围。
(3) 在 $ x $ 轴上是否存在点 $ P $，使得 $ △ CDP $ 的面积为 $ 2 $？若存在，请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】：
(1) 将 $ x = \frac{5}{4} $ 代入 $ y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} $，得 $ y = -\frac{4}{3} × \frac{5}{4} + \frac{5}{3} = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3} = 0 $，与点的纵坐标一致，故点 $ ( \frac{5}{4}, 0 ) $ 在直线 $ AB $ 上。
(2) 当 $ y = -1 $ 时，$ -1 = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} $，解得 $ x = 2 $；当 $ y = 3 $ 时，$ 3 = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} $，解得 $ x = -1 $。因 $ k = -\frac{4}{3} ＜ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小，故 $ x $ 的取值范围为 $ -1 ≤ x ≤ 2 $。
(3) 设 $ C(x_1, y_1) $、$ D(x_2, y_2) $ 在直线上，取 $ C(2, -1) $、$ D(-1, 3) $（由(2)得），$ CD = \sqrt{(-1-2)^2 + (3+1)^2} = 5 $。设 $ P(m, 0) $，直线 $ AB: 4x + 3y - 5 = 0 $，点 $ P $ 到直线距离 $ d = \frac{|4m - 5|}{5} $。由 $ S_{△ CDP} = \frac{1}{2} × 5 × d = 2 $，得 $ d = \frac{4}{5} $，即 $ |4m - 5| = 4 $，解得 $ m = \frac{9}{4} $ 或 $ m = \frac{1}{4} $，故存在 $ P( \frac{1}{4}, 0 ) $ 或 $ ( \frac{9}{4}, 0 ) $。
【答案】：
(1) 在，理由见解析；(2) $ -1 ≤ x ≤ 2 $；(3) 存在，$ ( \frac{1}{4}, 0 ) $ 或 $ ( \frac{9}{4}, 0 ) $

(1) 将 $ x = \frac{5}{4} $ 代入 $ y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} $，得 $ y = -\frac{4}{3} × \frac{5}{4} + \frac{5}{3} = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3} = 0 $，与点的纵坐标一致，故点 $ ( \frac{5}{4}, 0 ) $ 在直线 $ AB $ 上。
(2) 当 $ y = -1 $ 时，$ -1 = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} $，解得 $ x = 2 $；当 $ y = 3 $ 时，$ 3 = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} $，解得 $ x = -1 $。因 $ k = -\frac{4}{3} ＜ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小，故 $ x $ 的取值范围为 $ -1 ≤ x ≤ 2 $。
(3) 设 $ C(x_1, y_1) $、$ D(x_2, y_2) $ 在直线上，取 $ C(2, -1) $、$ D(-1, 3) $（由(2)得），$ CD = \sqrt{(-1-2)^2 + (3+1)^2} = 5 $。设 $ P(m, 0) $，直线 $ AB: 4x + 3y - 5 = 0 $，点 $ P $ 到直线距离 $ d = \frac{|4m - 5|}{5} $。由 $ S_{△ CDP} = \frac{1}{2} × 5 × d = 2 $，得 $ d = \frac{4}{5} $，即 $ |4m - 5| = 4 $，解得 $ m = \frac{9}{4} $ 或 $ m = \frac{1}{4} $，故存在 $ P( \frac{1}{4}, 0 ) $ 或 $ ( \frac{9}{4}, 0 ) $。