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1. 在平面直角坐标系中，一次函数 $ y = x + 1 $ 的图象是()
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
一次函数$y = x + 1$，其中$k=1＞0$，所以函数图象从左到右上升；$b=1＞0$，所以函数图象与$y$轴交于正半轴$(0,1)$。当$y=0$时，$x + 1=0$，解得$x=-1$，即函数图象与$x$轴交于$(-1,0)$。观察选项，只有C选项的图象符合上述特征。
2. 对于一次函数 $ y = 2x - 1 $，下列结论正确的是()
A.它的图象与 $ y $ 轴交于点 $ (0,-1) $
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.当 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时，$ y ＜ 0 $
D.它的图象经过第一、二、三象限
A.它的图象与 $ y $ 轴交于点 $ (0,-1) $
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.当 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时，$ y ＜ 0 $
D.它的图象经过第一、二、三象限
答案
A
解析
A. 令$x=0$，则$y = 2×0 - 1=-1$，所以函数图象与$y$轴交于点$(0,-1)$，该选项正确；
B. 一次函数$y = 2x - 1$中$k = 2＞0$，根据一次函数性质，$y$随$x$的增大而增大，该选项错误；
C. 令$y = 0$，则$2x - 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{2}$，因为$y$随$x$的增大而增大，所以当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＞0$，该选项错误；
D. 一次函数$y = 2x - 1$中$k = 2＞0$，$b=-1＜0$，所以函数图象经过第一、三、四象限，该选项错误。
B. 一次函数$y = 2x - 1$中$k = 2＞0$，根据一次函数性质，$y$随$x$的增大而增大，该选项错误；
C. 令$y = 0$，则$2x - 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{2}$，因为$y$随$x$的增大而增大，所以当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＞0$，该选项错误；
D. 一次函数$y = 2x - 1$中$k = 2＞0$，$b=-1＜0$，所以函数图象经过第一、三、四象限，该选项错误。
3. 已知一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象与 $ y $ 轴负半轴相交，且函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 的增大而减小，则一次函数 $ y = bx - k $ 的图象大致是()
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ y $ 轴负半轴相交，即 $ b ＜ 0 $。
函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 的增大而减小，说明 $ k ＜ 0 $。
因此，要求的一次函数 $ y = bx - k $ 中，$ b ＜ 0 $ 且 $ -k ＞ 0 $。
根据 $ b ＜ 0 $，图象向下倾斜；根据 $ -k ＞ 0 $，图象与 $ y $ 轴正半轴相交。
所以符合条件的图象为选项 C。
函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 的增大而减小，说明 $ k ＜ 0 $。
因此，要求的一次函数 $ y = bx - k $ 中，$ b ＜ 0 $ 且 $ -k ＞ 0 $。
根据 $ b ＜ 0 $，图象向下倾斜；根据 $ -k ＞ 0 $，图象与 $ y $ 轴正半轴相交。
所以符合条件的图象为选项 C。
4. 如图，一次函数 $ y = -x + m $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $，与正比例函数 $ y = \frac{1}{2}x $ 的图象交于点 $ P(4,n) $。
(1) 求 $ m,n $ 的值；
(2) 求 $ △ POA $ 的面积。
(1) 求 $ m,n $ 的值；
(2) 求 $ △ POA $ 的面积。
答案
(1) $ m = 6 $，$ n = 2 $；(2) $ 12 $
解析
(1) 因为点 $ P(4,n) $ 在正比例函数 $ y = \frac{1}{2}x $ 上，所以 $ n = \frac{1}{2}×4 = 2 $，即 $ P(4,2) $。
又因为点 $ P(4,2) $ 在一次函数 $ y = -x + m $ 上，所以 $ 2 = -4 + m $，解得 $ m = 6 $。
(2) 一次函数 $ y = -x + 6 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，令 $ x = 0 $，得 $ y = 6 $，所以 $ A(0,6) $。
$ △POA $ 的底为 $ OA = 6 $，高为点 $ P $ 的横坐标的绝对值，即 $ 4 $。
面积 $ S = \frac{1}{2}×6×4 = 12 $。
又因为点 $ P(4,2) $ 在一次函数 $ y = -x + m $ 上，所以 $ 2 = -4 + m $，解得 $ m = 6 $。
(2) 一次函数 $ y = -x + 6 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，令 $ x = 0 $，得 $ y = 6 $，所以 $ A(0,6) $。
$ △POA $ 的底为 $ OA = 6 $，高为点 $ P $ 的横坐标的绝对值，即 $ 4 $。
面积 $ S = \frac{1}{2}×6×4 = 12 $。
5. 如图，直线 $ l $ 的解析式为 $ y = -\frac{4}{3}x + 4 $，它与坐标轴分别交于点 $ A,B $。
(1) 求点 $ A $ 的坐标；
(2) 动点 $ C $ 从 $ y $ 轴上的点 $ (0,12) $ 出发，以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度向 $ y $ 轴负半轴运动，求出点 $ C $ 运动的时间 $ t $，使得 $ △ ABC $ 为等腰三角形。
(1) 求点 $ A $ 的坐标；
(2) 动点 $ C $ 从 $ y $ 轴上的点 $ (0,12) $ 出发，以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度向 $ y $ 轴负半轴运动，求出点 $ C $ 运动的时间 $ t $，使得 $ △ ABC $ 为等腰三角形。
答案
【解析】：(1)令y=0，代入y=-4/3x+4，得0=-4/3x+4，解得x=3，
∴点A坐标为(3,0)。
(2)直线与y轴交于点B，令x=0，得y=4，
∴B(0,4)。点C从(0,12)沿y轴负半轴运动，速度1单位/秒，运动t秒后，C(0,12-t)。AB=√[(3-0)²+(0-4)²]=5。
①AB=AC：AC=5，AC²=3²+(12-t-0)²=25，即9+(t-12)²=25，(t-12)²=16，t=16或t=8（t=8时C与B重合，舍去），
∴t=16。
②AB=BC：BC=5，|(12-t)-4|=5，|8-t|=5，t=3或t=13。
③AC=BC：3²+(12-t)²=(12-t-4)²，9+(t-12)²=(t-8)²，解得t=89/8。
综上，t=3或13或16或89/8。
【答案】：(1)(3,0)；(2)t=3或13或16或89/8
∴点A坐标为(3,0)。
(2)直线与y轴交于点B，令x=0，得y=4，
∴B(0,4)。点C从(0,12)沿y轴负半轴运动，速度1单位/秒，运动t秒后，C(0,12-t)。AB=√[(3-0)²+(0-4)²]=5。
①AB=AC：AC=5，AC²=3²+(12-t-0)²=25，即9+(t-12)²=25，(t-12)²=16，t=16或t=8（t=8时C与B重合，舍去），
∴t=16。
②AB=BC：BC=5，|(12-t)-4|=5，|8-t|=5，t=3或t=13。
③AC=BC：3²+(12-t)²=(12-t-4)²，9+(t-12)²=(t-8)²，解得t=89/8。
综上，t=3或13或16或89/8。
【答案】：(1)(3,0)；(2)t=3或13或16或89/8
解析
(1)令y=0，代入y=-4/3x+4，得0=-4/3x+4，解得x=3，∴点A坐标为(3,0)。
(2)直线与y轴交于点B，令x=0，得y=4，∴B(0,4)。点C从(0,12)沿y轴负半轴运动，速度1单位/秒，运动t秒后，C(0,12-t)。AB=√[(3-0)²+(0-4)²]=5。
①AB=AC：AC=5，AC²=3²+(12-t-0)²=25，即9+(t-12)²=25，(t-12)²=16，t=16或t=8（t=8时C与B重合，舍去），∴t=16。
②AB=BC：BC=5，|(12-t)-4|=5，|8-t|=5，t=3或t=13。
③AC=BC：3²+(12-t)²=(12-t-4)²，9+(t-12)²=(t-8)²，解得t=89/8。
综上，t=3或13或16或89/8。
(2)直线与y轴交于点B，令x=0，得y=4，∴B(0,4)。点C从(0,12)沿y轴负半轴运动，速度1单位/秒，运动t秒后，C(0,12-t)。AB=√[(3-0)²+(0-4)²]=5。
①AB=AC：AC=5，AC²=3²+(12-t-0)²=25，即9+(t-12)²=25，(t-12)²=16，t=16或t=8（t=8时C与B重合，舍去），∴t=16。
②AB=BC：BC=5，|(12-t)-4|=5，|8-t|=5，t=3或t=13。
③AC=BC：3²+(12-t)²=(12-t-4)²，9+(t-12)²=(t-8)²，解得t=89/8。
综上，t=3或13或16或89/8。
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的方法，叫作。
答案
待定系数法
解析
根据定义，先设定函数的一般形式，然后利用已知条件建立方程或方程组，求出函数表达式中的未知参数，从而确定函数表达式，这种方法称为待定系数法。
思考 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤是什么？
答案
【解析】：用待定系数法确定函数解析式的步骤如下：
1. 设：根据已知条件，设出函数解析式，如一次函数设为$y = kx + b（k ≠ 0）$。
2. 列：将已知的自变量与函数的对应值代入解析式，列出关于待定系数的方程（组）。
3. 解：解方程（组），求出待定系数的值。
4. 写：将求出的待定系数的值代入所设解析式，得到函数解析式。
1. 设：根据已知条件，设出函数解析式，如一次函数设为$y = kx + b（k ≠ 0）$。
2. 列：将已知的自变量与函数的对应值代入解析式，列出关于待定系数的方程（组）。
3. 解：解方程（组），求出待定系数的值。
4. 写：将求出的待定系数的值代入所设解析式，得到函数解析式。
解析
用待定系数法确定函数解析式的步骤如下：
1. 设：根据已知条件，设出函数解析式，如一次函数设为$y = kx + b（k ≠ 0）$。
2. 列：将已知的自变量与函数的对应值代入解析式，列出关于待定系数的方程（组）。
3. 解：解方程（组），求出待定系数的值。
4. 写：将求出的待定系数的值代入所设解析式，得到函数解析式。
1. 设：根据已知条件，设出函数解析式，如一次函数设为$y = kx + b（k ≠ 0）$。
2. 列：将已知的自变量与函数的对应值代入解析式，列出关于待定系数的方程（组）。
3. 解：解方程（组），求出待定系数的值。
4. 写：将求出的待定系数的值代入所设解析式，得到函数解析式。
填空 正比例函数的图象经过点$(2,-6)$，则该函数的解析式为。
答案
$y=-3x$
解析
设正比例函数解析式为$y=kx$，将点$(2,-6)$代入得$-6=2k$，解得$k=-3$，所以函数解析式为$y=-3x$。
