12. 【发现】比较两个数的大小可以通过比较它们的差来判断。若 $ A - B ＞ 0 $，则 $ A ＞ B $；若 $ A - B = 0 $，则 $ A = B $；若 $ A - B ＜ 0 $，则 $ A ＜ B $。
【运用】某产品有如下两种制作方案：方案一是用 $ 4 $ 块 $ A $ 型钢板和 $ 8 $ 块 $ B $ 型钢板；方案二是用 $ 3 $ 块 $ A $ 型钢板和 $ 9 $ 块 $ B $ 型钢板。已知 $ A $ 型钢板的面积比 $ B $ 型钢板的小。从节省材料的角度考虑，应该选择哪种方案？

方案一

设A型钢板面积为$a$，B型钢板面积为$b$，且$a ＜ b$。方案一材料面积：$4a + 8b$；方案二材料面积：$3a + 9b$。作差：$(4a + 8b)-(3a + 9b)=a - b$。因为$a ＜ b$，所以$a - b ＜ 0$，即方案一面积小于方案二。应选择方案一。

【提出问题】已知 $ x - y = 2 $，且 $ x ＞ 1 $，$ y ＜ 0 $，试确定 $ x + y $ 的取值范围。
【解决问题】$ \because x - y = 2 $，$ \therefore x = y + 2 $。又 $ \because x ＞ 1 $，$ \therefore y + 2 ＞ 1 $。$ \therefore y ＞ - 1 $。又 $ \because y ＜ 0 $，$ \therefore - 1 ＜ y ＜ 0 $ ①。同理可得 $ 1 ＜ x ＜ 2 $ ②。由 ① + ②，得 $ - 1 + 1 ＜ y + x ＜ 0 + 2 $，$ \therefore x + y $ 的取值范围是 $ 0 ＜ x + y ＜ 2 $。
【尝试应用】已知 $ x - y = - 3 $，且 $ x ＜ - 1 $，$ y ＞ 1 $，求 $ x + y $ 的取值范围。

$-1 ＜ x + y ＜ 1$

$\because x - y = -3$，$\therefore x = y - 3$。又$\because x ＜ -1$，$\therefore y - 3 ＜ -1$，$\therefore y ＜ 2$。又$\because y ＞ 1$，$\therefore 1 ＜ y ＜ 2$ ①。同理，$x = y - 3$，由$1 ＜ y ＜ 2$得$-2 ＜ x ＜ -1$ ②。由① + ②，得$1 + (-2) ＜ y + x ＜ 2 + (-1)$，$\therefore -1 ＜ x + y ＜ 1$。