3. 一家游泳馆的收费标准为 $30$ 元/次，若购买会员年卡，则可享受如下优惠：

例如，购买 A 类会员年卡，一年内在该游泳馆游泳 $20$ 次，消费 $50 + 25×20 = 550$(元)，若一年内在该游泳馆游泳的次数在 $45∼55$ 之间，则最省钱的方式为()

A.购买 A 类会员年卡
B.购买 B 类会员年卡
C.购买 C 类会员年卡
D.不购买会员年卡

3.C

【解析】
设一年内在该游泳馆游泳的次数为$ x $次，且$ 45 ≤ x ≤ 55 $，分别计算四种消费方式的费用：
1. 不购买会员年卡：费用为$ 30x $，当$ x=45 $时，$ 30×45=1350 $元；当$ x=55 $时，$ 30×55=1650 $元，费用范围是1350~1650元。
2. 购买A类会员年卡：费用为$ 50+25x $，当$ x=45 $时，$ 50+25×45=1175 $元；当$ x=55 $时，$ 50+25×55=1425 $元，费用范围是1175~1425元。
3. 购买B类会员年卡：费用为$ 200+20x $，当$ x=45 $时，$ 200+20×45=1100 $元；当$ x=55 $时，$ 200+20×55=1300 $元，费用范围是1100~1300元。
4. 购买C类会员年卡：费用为$ 400+15x $，当$ x=45 $时，$ 400+15×45=1075 $元；当$ x=55 $时，$ 400+15×55=1225 $元，费用范围是1075~1225元。
对比四种方式的费用范围，可知当游泳次数在45~55之间时，购买C类会员年卡的费用最低，最省钱。
【答案】
C
【知识点】
一次函数应用，方案选择，代数式求值
【点评】
本题通过建立代数式计算不同方案的费用，对比得出最优方案，考查了对实际问题的分析和计算能力。
【难度系数】
0.6

4. 某水果市场销售一种香蕉。甲店的香蕉价格为 $4$ 元$/\mathrm{kg}$；乙店的香蕉价格为 $5$ 元$/\mathrm{kg}$，若一次购买 $6\mathrm{kg}$ 以上，超过 $6\mathrm{kg}$ 的部分打七折。
（1）设购买量为 $x\mathrm{kg}$ 时，甲店的付款金额为 $y_{\mathrm{甲}}$ 元，乙店的付款金额为 $y_{\mathrm{乙}}$ 元，分别写出 $y_{\mathrm{甲}}$，$y_{\mathrm{乙}}$ 关于 $x$ 的函数解析式。
（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由。

4.解：(1)y₁ = 4x。y₂ = $\begin{cases} 5x,0 ＜ x ≤ 6 \\ 3.5x + 9,x ＞ 6 \end{cases}$
(2)当购买量小于18 kg时，到甲店购买香蕉更省钱；当购买量为18 kg时，两店费用相同；当购买量大于18 kg时，到乙店购买香蕉更省钱。

【解析】
（1）甲店：已知甲店香蕉单价为4元/kg，购买量为$x\mathrm{kg}$，因此付款金额$y_{\mathrm{甲}}=4x$（$x＞0$）。
乙店：分两种情况分析：
①当$0＜x≤6$时，乙店香蕉单价为5元/kg，故$y_{\mathrm{乙}}=5x$；
②当$x＞6$时，前6kg付款$5×6=30$元，超过6kg的部分单价为$5×0.7=3.5$元/kg，超过部分付款$3.5(x-6)$元，总付款$y_{\mathrm{乙}}=30+3.5(x-6)=3.5x+9$。
综上，$y_{\mathrm{乙}}=\begin{cases} 5x,0 ＜ x ≤ 6 \\ 3.5x + 9,x ＞ 6 \end{cases}$。
（2）分情况讨论两店费用：
①当$0＜x≤6$时，$y_{\mathrm{甲}}=4x$，$y_{\mathrm{乙}}=5x$，因为$4x＜5x$，所以到甲店购买更省钱；
②当$x＞6$时，令$y_{\mathrm{甲}}=y_{\mathrm{乙}}$，即$4x=3.5x+9$，解得$x=18$；
当$6＜x＜18$时，$4x＜3.5x+9$，$y_{\mathrm{甲}}＜y_{\mathrm{乙}}$，到甲店购买更省钱；
当$x=18$时，$y_{\mathrm{甲}}=y_{\mathrm{乙}}$，两店付款金额相同；
当$x＞18$时，$4x＞3.5x+9$，$y_{\mathrm{甲}}＞y_{\mathrm{乙}}$，到乙店购买更省钱。
综上，可得出不同购买量对应的最优购买店。
【答案】
（1）$y_{\mathrm{甲}}=4x$（$x＞0$）；$y_{\mathrm{乙}}=\begin{cases} 5x,0 ＜ x ≤ 6 \\ 3.5x + 9,x ＞ 6 \end{cases}$
（2）当购买量小于18 kg时，到甲店购买香蕉更省钱；当购买量为18 kg时，两店费用相同；当购买量大于18 kg时，到乙店购买香蕉更省钱。
【知识点】
一次函数的应用、分段函数、分类讨论思想
【点评】
本题考查一次函数在实际购物场景中的应用，核心是根据不同价格规则构建分段函数，通过分类讨论函数值的大小关系确定最优方案，着重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6

【例 3】某商店分两次购进 A，B 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

(1)求 A，B 两种商品每件的进价分别是多少元；
(2)商店决定 A 种商品以每件 $30$ 元出售，B 种商品以每件 $100$ 元出售。为满足市场需求，需购进 A，B 两种商品共 $1000$ 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 $4$ 倍，请求出获利最大的进货方案，并确定最大利润。
| 思路分析 |
思考 1：在问题(1)中，要求出 A，B 两种商品的进价，需要找到个等量关系，列出，才能解决问题。
思考 2：在销售利润问题中，列函数解析式所依据的等量关系是什么？
思考 3：在一次函数中，要结合函数的增减性求函数的最值的必要条件是先求出的取值范围，要确定这一条件的关键是题干中“”。
解：
【规律方法】
根据函数最值确定最佳方案的关键
(1)利用不等式(或不等式组)确定自变量的取值范围；
(2)根据函数的增减性，在自变量取值范围内，确定符合实际问题的函数的最值及相应的自变量的值。

【例3】
思路分析
思考1：2 二元一次方程组
思考2：总利润 = 单件利润 × 购进数量。
思考3：自变量 购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍
解：(1)A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元。
(2)当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元。

【解析】
(1) 设A种商品每件的进价为$x$元，B种商品每件的进价为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}30x + 40y = 3800 \\ 40x + 30y = 3200\end{cases}$
解方程组，得$\begin{cases}x = 20 \\ y = 80\end{cases}$
(2) 设购进B种商品$m$件，则购进A种商品$(1000 - m)$件，销售利润为$w$元。
根据题意，得$w=(30 - 20)(1000 - m)+(100 - 80)m=10m + 10000$。
由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，得$1000 - m≥4m$，解得$m≤200$。
因为$10＞0$，所以$w$随$m$的增大而增大，
当$m=200$时，$w$取得最大值，最大值为$10×200 + 10000=12000$，
此时$1000 - m=800$。
【答案】
(1) A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
(2) 当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数最值应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式与一次函数的实际应用，需根据题意建立数学模型，利用函数性质求解最值，体现了数学建模思想。
【难度系数】
0.6