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1. 某种藤类植物生长过程中藤蔓长度 $y$(单位：$\mathrm{cm}$)与生长时间 $x$(单位：天)的函数关系图象如图所示，当藤蔓长度大约在 $115\mathrm{cm}$ 时，植物进入浆果生长期，此时植物的生长天数约是(
A.$90$
B.$95$
C.$140$
D.$143$
B
)A.$90$
B.$95$
C.$140$
D.$143$
答案
1.B
解析
【解析】
当$20 ≤ x ≤ 120$时，设藤蔓长度$y$与生长时间$x$的函数解析式为$y = kx + b$。
将$(20, 10)$、$(120, 150)$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k + b = 10 \\120k + b = 150\end{cases}$
解方程组得：$k = 1.4$，$b = -18$，即$y = 1.4x - 18$。
当$y = 115$时，代入$y = 1.4x - 18$，得：
$115 = 1.4x - 18$
解得$x = 95$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，需先确定对应区间的函数解析式，再代入求值求解。
【难度系数】
0.6
当$20 ≤ x ≤ 120$时，设藤蔓长度$y$与生长时间$x$的函数解析式为$y = kx + b$。
将$(20, 10)$、$(120, 150)$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k + b = 10 \\120k + b = 150\end{cases}$
解方程组得：$k = 1.4$，$b = -18$，即$y = 1.4x - 18$。
当$y = 115$时，代入$y = 1.4x - 18$，得：
$115 = 1.4x - 18$
解得$x = 95$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，需先确定对应区间的函数解析式，再代入求值求解。
【难度系数】
0.6
2. 甲超市在端午节这天进行苹果促销活动，苹果的标价为 $10$ 元$/\mathrm{kg}$，如果一次购买 $4\mathrm{kg}$ 以上的苹果，超过 $4\mathrm{kg}$ 的部分按标价六折售卖。设 $x$(单位：$\mathrm{kg}$)表示购买苹果的质量，$y$(单位：元)表示付款金额。
(1)文文购买 $3\mathrm{kg}$ 苹果需付款
(2)求付款金额 $y$ 关于购买苹果的质量 $x$ 的函数解析式。
(3)当天，隔壁的乙超市也在进行苹果促销活动，同样的苹果的标价也为 $10$ 元$/\mathrm{kg}$，且全部按标价的八折售卖。如果文文要购买 $10\mathrm{kg}$ 苹果，那么她在哪家超市购买更划算？
(1)文文购买 $3\mathrm{kg}$ 苹果需付款
30
元；购买 $5\mathrm{kg}$ 苹果需付款46
元。(2)求付款金额 $y$ 关于购买苹果的质量 $x$ 的函数解析式。
(3)当天，隔壁的乙超市也在进行苹果促销活动，同样的苹果的标价也为 $10$ 元$/\mathrm{kg}$，且全部按标价的八折售卖。如果文文要购买 $10\mathrm{kg}$ 苹果，那么她在哪家超市购买更划算？
答案
2.解：(1)30 46
(2)付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式为y = $\begin{cases} 10x,0 ＜ x ≤ 4 \\ 6x + 16,x ＞ 4 \end{cases}$
(3)文文在甲超市购买更划算。
(2)付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式为y = $\begin{cases} 10x,0 ＜ x ≤ 4 \\ 6x + 16,x ＞ 4 \end{cases}$
(3)文文在甲超市购买更划算。
解析
【解析】
(1) 当购买3kg苹果时，$3\mathrm{kg} ≤ 4\mathrm{kg}$，按标价付款，金额为$3×10=30$元；
当购买5kg苹果时，其中4kg按标价付款，超过的1kg按六折付款，金额为$4×10+(5-4)×10×0.6=40+6=46$元。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0 ＜ x ≤ 4$时，付款金额$y=10x$；
② 当$x ＞ 4$时，前4kg付款$4×10=40$元，超过4kg的部分付款$10×0.6(x-4)$元，因此$y=40+6(x-4)=6x+16$；
综上，付款金额$y$关于购买苹果的质量$x$的函数解析式为$y = \begin{cases} 10x,0 ＜ x ≤ 4 \\ 6x + 16,x ＞ 4 \end{cases}$。
(3) 计算在两家超市购买10kg苹果的付款金额：
甲超市：$x=10＞4$，代入$y=6x+16$，得$y=6×10+16=76$元；
乙超市：全部按八折付款，金额为$10×10×0.8=80$元；
因为$76＜80$，所以文文在甲超市购买更划算。
【答案】
(1) 30；46
(2) $y = \begin{cases} 10x,0 ＜ x ≤ 4 \\ 6x + 16,x ＞ 4 \end{cases}$
(3) 文文在甲超市购买更划算。
【知识点】
分段函数的应用；一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际购物促销场景，考查分段函数的构建与应用，需要运用分类讨论思想分析不同购买量对应的付款规则，同时通过数值比较判断最优方案，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 当购买3kg苹果时，$3\mathrm{kg} ≤ 4\mathrm{kg}$，按标价付款，金额为$3×10=30$元；
当购买5kg苹果时，其中4kg按标价付款，超过的1kg按六折付款，金额为$4×10+(5-4)×10×0.6=40+6=46$元。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0 ＜ x ≤ 4$时，付款金额$y=10x$；
② 当$x ＞ 4$时，前4kg付款$4×10=40$元，超过4kg的部分付款$10×0.6(x-4)$元，因此$y=40+6(x-4)=6x+16$；
综上，付款金额$y$关于购买苹果的质量$x$的函数解析式为$y = \begin{cases} 10x,0 ＜ x ≤ 4 \\ 6x + 16,x ＞ 4 \end{cases}$。
(3) 计算在两家超市购买10kg苹果的付款金额：
甲超市：$x=10＞4$，代入$y=6x+16$，得$y=6×10+16=76$元；
乙超市：全部按八折付款，金额为$10×10×0.8=80$元；
因为$76＜80$，所以文文在甲超市购买更划算。
【答案】
(1) 30；46
(2) $y = \begin{cases} 10x,0 ＜ x ≤ 4 \\ 6x + 16,x ＞ 4 \end{cases}$
(3) 文文在甲超市购买更划算。
【知识点】
分段函数的应用；一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际购物促销场景，考查分段函数的构建与应用，需要运用分类讨论思想分析不同购买量对应的付款规则，同时通过数值比较判断最优方案，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
【例 2】“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾游。爸爸提前了解到甲、乙两
甲公司：收取固定租金 $80$ 元，另外再按租车时间计费。
乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租车费是 $30$ 元。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为 $x\mathrm{h}$，租用甲公司的车所需费用为 $y_1$ 元，租用乙公司的车所需费用为 $y_2$ 元，$y_1$，$y_2$ 与 $x$ 的函数关系图象如图所示，分别求出 $y_1$，$y_2$ 关于 $x$ 的函数解析式。
（2）小明一家选择哪家公司租车比较合算？
解：
【规律方法】
解决通过比较两个函数的函数值选择最佳方案问题的方法
方法一：通过讨论两个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得出最佳方案。
方法二：画出两个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得出最佳方案。
注意：若需比较三个或三个以上函数的函数值选择最佳方案，则一般选用形法。
家
租车公司的收费方式，并决定从其中选一家租车。甲公司：收取固定租金 $80$ 元，另外再按租车时间计费。
乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租车费是 $30$ 元。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为 $x\mathrm{h}$，租用甲公司的车所需费用为 $y_1$ 元，租用乙公司的车所需费用为 $y_2$ 元，$y_1$，$y_2$ 与 $x$ 的函数关系图象如图所示，分别求出 $y_1$，$y_2$ 关于 $x$ 的函数解析式。
（2）小明一家选择哪家公司租车比较合算？
解：
【规律方法】
解决通过比较两个函数的函数值选择最佳方案问题的方法
方法一：通过讨论两个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得出最佳方案。
方法二：画出两个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得出最佳方案。
注意：若需比较三个或三个以上函数的函数值选择最佳方案，则一般选用形法。
答案
【例2】解：(1)y₁ = 15x + 80(x ≥ 0)。
y₂ = 30x(x ≥ 0)。
(2)当租车时间为$\frac{16}{3}$ h时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}$ h时，选择乙公司合算；当租车时间大于$\frac{16}{3}$ h时，选择甲公司合算。
y₂ = 30x(x ≥ 0)。
(2)当租车时间为$\frac{16}{3}$ h时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}$ h时，选择乙公司合算；当租车时间大于$\frac{16}{3}$ h时，选择甲公司合算。
解析
【解析】
（1）设$y_1=kx+b(k≠0)$，
由题意知，当$x=0$时，$y_1=80$，即$b=80$，
又
∵图象过点$(1,95)$，代入得$95=k+80$，解得$k=15$，
∴$y_1=15x+80(x≥0)$。
设$y_2=mx(m≠0)$，
∵图象过点$(1,30)$，代入得$30=m×1$，解得$m=30$，
∴$y_2=30x(x≥0)$。
（2）分三种情况讨论：
①当$y_1=y_2$时，$15x+80=30x$，
解得$x=\frac{16}{3}$，即租车时间为$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选甲、乙公司费用相同；
②当$y_1＞y_2$时，$15x+80＞30x$，
解得$x＜\frac{16}{3}$，即租车时间小于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选乙公司合算；
③当$y_1＜y_2$时，$15x+80＜30x$，
解得$x＞\frac{16}{3}$，即租车时间大于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选甲公司合算。
【答案】
（1）$y_1=15x+80(x≥0)$，$y_2=30x(x≥0)$；
（2）当租车时间为$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选择乙公司合算；当租车时间大于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选择甲公司合算。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查一次函数在实际租车方案选择中的应用，通过建立函数解析式，结合方程与不等式求解最优方案，体现了分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
（1）设$y_1=kx+b(k≠0)$，
由题意知，当$x=0$时，$y_1=80$，即$b=80$，
又
∵图象过点$(1,95)$，代入得$95=k+80$，解得$k=15$，
∴$y_1=15x+80(x≥0)$。
设$y_2=mx(m≠0)$，
∵图象过点$(1,30)$，代入得$30=m×1$，解得$m=30$，
∴$y_2=30x(x≥0)$。
（2）分三种情况讨论：
①当$y_1=y_2$时，$15x+80=30x$，
解得$x=\frac{16}{3}$，即租车时间为$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选甲、乙公司费用相同；
②当$y_1＞y_2$时，$15x+80＞30x$，
解得$x＜\frac{16}{3}$，即租车时间小于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选乙公司合算；
③当$y_1＜y_2$时，$15x+80＜30x$，
解得$x＞\frac{16}{3}$，即租车时间大于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选甲公司合算。
【答案】
（1）$y_1=15x+80(x≥0)$，$y_2=30x(x≥0)$；
（2）当租车时间为$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选择乙公司合算；当租车时间大于$\frac{16}{3}\mathrm{h}$时，选择甲公司合算。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查一次函数在实际租车方案选择中的应用，通过建立函数解析式，结合方程与不等式求解最优方案，体现了分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
