例 如图 12 - 4，用两种不同的方法证明∠BDC = ∠BAC + ∠ABD + ∠ACD。

方法一：延长BD交AC于点E
∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠DEC+∠ACD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵∠DEC是△ABE的外角，
∴∠DEC=∠BAC+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD。
方法二：连接AD并延长至点F
∵∠BDF是△ABD的外角，
∴∠BDF=∠BAD+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵∠CDF是△ACD的外角，
∴∠CDF=∠CAD+∠ACD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，且∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD。

【分析】
要证明∠BDC = ∠BAC + ∠ABD + ∠ACD，可借助三角形外角的性质，通过作辅助线将∠BDC拆分为与目标角相关的角，再进行等量代换推导。
方法一思路：延长BD交AC于点E，先将∠BDC转化为∠DEC与∠ACD的和，再利用外角性质将∠DEC转化为∠BAC与∠ABD的和，最终完成等量代换得到结论；
方法二思路：连接AD并延长至点F，将∠BDC拆分为∠BDF与∠CDF的和，分别利用外角性质将这两个角转化为对应角的和，结合∠BAC的拆分完成证明。
【解析】
方法一：延长BD交AC于点E
∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠DEC+∠ACD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵∠DEC是△ABE的外角，
∴∠DEC=∠BAC+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD。
方法二：连接AD并延长至点F
∵∠BDF是△ABD的外角，
∴∠BDF=∠BAD+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵∠CDF是△ACD的外角，
∴∠CDF=∠CAD+∠ACD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，且∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD。
【答案】
证明见上述解析。
【知识点】
三角形外角性质、角的和差转化
【点评】
本题考查三角形外角性质的应用，通过作辅助线构造外角，将分散的角的关系转化为已知的几何定理可解决的形式，体现了转化的数学思想，帮助我们把复杂的角的和差问题简化。
【难度系数】
0.7

1. 填空题：
(1) 在△ABC 中，若∠A + ∠B = 90°，则∠C = °；若∠A - ∠B = ∠C，则△ABC 是三角形。
(2) 底角为 80°的等腰三角形的顶角等于°，有一个角为 80°的等腰三角形的其他两个角的度数分别为。
(3) 如图，在五边形 ABCDE 中，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = °。


(4) 如图，∠1，∠2，∠3 的大小关系为。
(5) 如图，∠1 = °，∠2 = °。


(6) 如图，∠α + ∠β = °。

(1) 90；直角
(2) 20；50°，50°或80°，20°
(3) 540
(4) ∠3＞∠2＞∠1
(5) 120；55
(6) 225

(1) 三角形内角和为180°，∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°；由∠A-∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°，得∠A=90°，故为直角三角形。
(2) 顶角=180°-2×80°=20°；80°为顶角时，底角=(180°-80°)/2=50°；80°为底角时，顶角=180°-2×80°=20°，故其他两角为50°，50°或80°，20°。
(3) 五边形内角和=(5-2)×180°=540°。
(4) 根据三角形外角性质，∠3是外角大于∠2，∠2是外角大于∠1，故∠3＞∠2＞∠1。
(5) ∠1为三角形外角=45°+75°=120°；∠2所在三角形中，另一角为80°(对顶角)，∠2=180°-45°-80°=55°。
(6) ∠α+∠β=180°+45°=225°(三角形外角和性质)。