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3. 已知：如图，点 $A$，$C$，$E$ 在一条直线上，$∠ DCE=∠ A$。求证：$∠ DCB=∠ B$。
答案
证明：
∵∠DCE=∠A（已知），
∴DC//AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠DCB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵∠DCE=∠A（已知），
∴DC//AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠DCB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
解析
【分析】
要证明∠DCB=∠B，可从已知条件切入。已知∠DCE=∠A，这两个角是直线DC、AB被直线EA所截得到的同位角，根据同位角相等的判定定理可推出DC//AB；再依据平行线的性质，两直线平行时内错角相等，∠DCB与∠B是DC、AB被BC所截形成的内错角，进而可证得∠DCB=∠B。
【解析】
证明：
∵∠DCE=∠A（已知），
∴DC//AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠DCB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
∠DCB=∠B得证
【知识点】
同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是准确识别同位角、内错角，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理。
【难度系数】
0.9
要证明∠DCB=∠B，可从已知条件切入。已知∠DCE=∠A，这两个角是直线DC、AB被直线EA所截得到的同位角，根据同位角相等的判定定理可推出DC//AB；再依据平行线的性质，两直线平行时内错角相等，∠DCB与∠B是DC、AB被BC所截形成的内错角，进而可证得∠DCB=∠B。
【解析】
证明：
∵∠DCE=∠A（已知），
∴DC//AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠DCB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
∠DCB=∠B得证
【知识点】
同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是准确识别同位角、内错角，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理。
【难度系数】
0.9
4. 如图，一条公路两次拐弯后与原来的方向相同，已知 $∠ A = 120^{\circ}$，则 $∠ B$ 是多少度？
答案
120°
解析
∵公路两次拐弯后与原来方向相同，
∴拐弯前后的两条路平行。
∵∠A与∠B是两条平行线被第三条直线所截形成的内错角，
∴∠A=∠B。
∵∠A=120°，
∴∠B=120°。
∴拐弯前后的两条路平行。
∵∠A与∠B是两条平行线被第三条直线所截形成的内错角，
∴∠A=∠B。
∵∠A=120°，
∴∠B=120°。
5. 已知：如图，$AD// BC$，$∠ A=∠ C$。
（1）$AB$ 与 $CD$ 有怎样的位置关系？请证明你的结论。
（2）你还能发现哪些结论？
（1）$AB$ 与 $CD$ 有怎样的位置关系？请证明你的结论。
（2）你还能发现哪些结论？
答案
（1）AB//CD。
证明：∵AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠A=∠C（已知），∴∠C+∠B=180°（等量代换）。∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）AD=BC，AB=CD，∠B=∠D。
证明：∵AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠A=∠C（已知），∴∠C+∠B=180°（等量代换）。∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）AD=BC，AB=CD，∠B=∠D。
解析
【分析】
（1）要判断AB与CD的位置关系，已知$AD// BC$，根据平行线的性质可推出$∠A$与$∠B$的互补关系，再结合已知$∠A=∠C$，通过等量代换得到$∠C$与$∠B$的互补关系，最后依据平行线的判定定理就能得出AB与CD的平行关系；
（2）由（1）可确定四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到其他相关结论。
【解析】
（1）$AB// CD$，证明如下：
$\because AD// BC$（已知），
$\therefore ∠ A+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ A=∠ C$（已知），
$\therefore ∠ C+∠ B=180°$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）由（1）可知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：
$AD=BC$，$AB=CD$，$∠ B=∠ D$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AB// CD}$，证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{AD=BC}$，$\boldsymbol{AB=CD}$，$\boldsymbol{∠ B=∠ D}$。
【知识点】
1. 平行线的性质与判定
2. 平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质与判定、平行四边形的性质，解题关键是熟练运用平行线的相关定理进行角的转化，进而判定平行关系，再利用平行四边形的性质推导其他结论，属于基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.8
（1）要判断AB与CD的位置关系，已知$AD// BC$，根据平行线的性质可推出$∠A$与$∠B$的互补关系，再结合已知$∠A=∠C$，通过等量代换得到$∠C$与$∠B$的互补关系，最后依据平行线的判定定理就能得出AB与CD的平行关系；
（2）由（1）可确定四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到其他相关结论。
【解析】
（1）$AB// CD$，证明如下：
$\because AD// BC$（已知），
$\therefore ∠ A+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ A=∠ C$（已知），
$\therefore ∠ C+∠ B=180°$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）由（1）可知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：
$AD=BC$，$AB=CD$，$∠ B=∠ D$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AB// CD}$，证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{AD=BC}$，$\boldsymbol{AB=CD}$，$\boldsymbol{∠ B=∠ D}$。
【知识点】
1. 平行线的性质与判定
2. 平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质与判定、平行四边形的性质，解题关键是熟练运用平行线的相关定理进行角的转化，进而判定平行关系，再利用平行四边形的性质推导其他结论，属于基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $x ＞ y ＞ 0$，证明 $x^{2} ＞ y^{2}$。
答案
由已知条件 $x ＞ y ＞ 0$，
所以 $x - y ＞ 0$，且 $x + y ＞ 0$（因为 $x$ 和 $y$ 都是正数）。
计算 $x^2 - y^2$，有：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，
由于 $x + y ＞ 0$ 且 $x - y ＞ 0$，所以：
$(x + y)(x - y) ＞ 0$，
即：$x^2 - y^2 ＞ 0$，
从而得出：$x^2 ＞ y^2$。
所以 $x - y ＞ 0$，且 $x + y ＞ 0$（因为 $x$ 和 $y$ 都是正数）。
计算 $x^2 - y^2$，有：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，
由于 $x + y ＞ 0$ 且 $x - y ＞ 0$，所以：
$(x + y)(x - y) ＞ 0$，
即：$x^2 - y^2 ＞ 0$，
从而得出：$x^2 ＞ y^2$。
解析
【分析】
要证明$x^2 ＞ y^2$，可采用作差比较法，即通过判断$x^2 - y^2$的正负来确定两者的大小关系。首先根据已知$x＞y＞0$，可推出$x - y＞0$，又因为两个正数的和仍为正数，所以$x + y＞0$。再利用平方差公式将$x^2 - y^2$分解为$(x + y)(x - y)$，结合两个正数相乘结果为正的性质，就能推出$x^2 - y^2＞0$，进而证得$x^2＞y^2$。
【解析】
已知$x ＞ y ＞ 0$，
所以$x - y ＞ 0$，且$x + y ＞ 0$（因为$x$和$y$都是正数，两个正数的和为正数）。
计算$x^2 - y^2$，根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，
由于$x + y ＞ 0$且$x - y ＞ 0$，两个正数的乘积大于0，因此：
$(x + y)(x - y) ＞ 0$，
即$x^2 - y^2 ＞ 0$，
从而得出：$x^2 ＞ y^2$。
【答案】
当$x ＞ y ＞ 0$时，$x^2 ＞ y^2$得证。
【知识点】
作差比较法、平方差公式
【点评】
本题考查不等式的基础证明方法，通过作差结合平方差公式，利用正数的运算性质推导结论，逻辑清晰，方法基础，可帮助巩固不等式证明及因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.8
要证明$x^2 ＞ y^2$，可采用作差比较法，即通过判断$x^2 - y^2$的正负来确定两者的大小关系。首先根据已知$x＞y＞0$，可推出$x - y＞0$，又因为两个正数的和仍为正数，所以$x + y＞0$。再利用平方差公式将$x^2 - y^2$分解为$(x + y)(x - y)$，结合两个正数相乘结果为正的性质，就能推出$x^2 - y^2＞0$，进而证得$x^2＞y^2$。
【解析】
已知$x ＞ y ＞ 0$，
所以$x - y ＞ 0$，且$x + y ＞ 0$（因为$x$和$y$都是正数，两个正数的和为正数）。
计算$x^2 - y^2$，根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，
由于$x + y ＞ 0$且$x - y ＞ 0$，两个正数的乘积大于0，因此：
$(x + y)(x - y) ＞ 0$，
即$x^2 - y^2 ＞ 0$，
从而得出：$x^2 ＞ y^2$。
【答案】
当$x ＞ y ＞ 0$时，$x^2 ＞ y^2$得证。
【知识点】
作差比较法、平方差公式
【点评】
本题考查不等式的基础证明方法，通过作差结合平方差公式，利用正数的运算性质推导结论，逻辑清晰，方法基础，可帮助巩固不等式证明及因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.8
7. 证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。
答案
已知：AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，GM平分∠AGH，HN平分∠GHD。
求证：GM//HN。
证明：∵AB//CD（已知），
∴∠AGH=∠GHD（两直线平行，内错角相等）。
∵GM平分∠AGH（已知），
∴∠MGH=1/2∠AGH（角平分线定义）。
同理，∠GHN=1/2∠GHD。
∴∠MGH=∠GHN（等量代换）。
∴GM//HN（内错角相等，两直线平行）。
求证：GM//HN。
证明：∵AB//CD（已知），
∴∠AGH=∠GHD（两直线平行，内错角相等）。
∵GM平分∠AGH（已知），
∴∠MGH=1/2∠AGH（角平分线定义）。
同理，∠GHN=1/2∠GHD。
∴∠MGH=∠GHN（等量代换）。
∴GM//HN（内错角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
要证明两条内错角的平分线互相平行，首先需根据题意明确已知条件和求证结论，先画出对应几何图形并写出已知与求证。解题思路如下：第一步利用平行线的性质，由已知的两条平行线被第三条直线所截，得到一组内错角相等；第二步根据角平分线的定义，将这组相等的内错角分别平分，得到两个新的内错角相等；第三步利用平行线的判定定理，由内错角相等推出两条角平分线互相平行。
【解析】
已知：$AB// CD$，直线$EF$分别交$AB$、$CD$于点$G$、$H$，$GM$平分$∠ AGH$，$HN$平分$∠ GHD$。
求证：$GM// HN$。
证明：
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ AGH=∠ GHD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because GM$平分$∠ AGH$（已知），
$\therefore ∠ MGH=\frac{1}{2}∠ AGH$（角平分线定义）。
同理，$∠ GHN=\frac{1}{2}∠ GHD$。
$\therefore ∠ MGH=∠ GHN$（等量代换）。
$\therefore GM// HN$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$GM// HN$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行线性质与判定的综合应用，同时结合角平分线的定义，需要学生熟练掌握相关定理，理清从已知条件到求证结论的逻辑推导过程，是几何证明中的基础题型，有助于培养严谨的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明两条内错角的平分线互相平行，首先需根据题意明确已知条件和求证结论，先画出对应几何图形并写出已知与求证。解题思路如下：第一步利用平行线的性质，由已知的两条平行线被第三条直线所截，得到一组内错角相等；第二步根据角平分线的定义，将这组相等的内错角分别平分，得到两个新的内错角相等；第三步利用平行线的判定定理，由内错角相等推出两条角平分线互相平行。
【解析】
已知：$AB// CD$，直线$EF$分别交$AB$、$CD$于点$G$、$H$，$GM$平分$∠ AGH$，$HN$平分$∠ GHD$。
求证：$GM// HN$。
证明：
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ AGH=∠ GHD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because GM$平分$∠ AGH$（已知），
$\therefore ∠ MGH=\frac{1}{2}∠ AGH$（角平分线定义）。
同理，$∠ GHN=\frac{1}{2}∠ GHD$。
$\therefore ∠ MGH=∠ GHN$（等量代换）。
$\therefore GM// HN$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$GM// HN$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行线性质与判定的综合应用，同时结合角平分线的定义，需要学生熟练掌握相关定理，理清从已知条件到求证结论的逻辑推导过程，是几何证明中的基础题型，有助于培养严谨的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
