变式训练 已知下列关系式：① $ y = 2x - 5 $；② $ y^{2} = x $（其中 $ x ≥ 0 $）。
(1) 在关系①中，当 $ x = 3 $ 时，$ y $ 的值是多少？这个关系满足函数的定义吗？
(2) 在关系②中，如果 $ x = 4 $，$ y $ 可以取哪些值？这个关系还满足“对于每一个 $ x $，都有唯一确定的 $ y $ 与之对应”吗？请说明理由。

【解析】：
(1) 对于关系式① $ y = 2x - 5 $，当 $ x = 3 $ 时，代入得：
$ y = 2 × 3 - 5 = 6 - 5 = 1 $。
由于对于每一个 $ x $，都有唯一确定的 $ y $ 值与之对应，因此关系①满足函数的定义。
(2) 对于关系式② $ y^{2} = x $（其中 $ x ≥ 0 $），当 $ x = 4 $ 时，代入得：
$ y^{2} = 4 $，
解得： $ y = \pm 2 $。
因此，当 $ x = 4 $ 时，$ y $ 可以取两个值，即 $ 2 $ 和 $ -2 $，这不是唯一确定的，所以关系②不满足函数的定义中“对于每一个 $ x $，都有唯一确定的 $ y $ 与之对应”的要求。
【答案】：
(1) $ y = 1 $，满足函数的定义；
(2) $ y $ 可以取 $ \pm 2 $，不满足。

(1) 对于关系式① $ y = 2x - 5 $，当 $ x = 3 $ 时，代入得：
$ y = 2 × 3 - 5 = 6 - 5 = 1 $。
由于对于每一个 $ x $，都有唯一确定的 $ y $ 值与之对应，因此关系①满足函数的定义。
(2) 对于关系式② $ y^{2} = x $（其中 $ x ≥ 0 $），当 $ x = 4 $ 时，代入得：
$ y^{2} = 4 $，
解得： $ y = \pm 2 $。
因此，当 $ x = 4 $ 时，$ y $ 可以取两个值，即 $ 2 $ 和 $ -2 $，这不是唯一确定的，所以关系②不满足函数的定义中“对于每一个 $ x $，都有唯一确定的 $ y $ 与之对应”的要求。

1. 下列不能表示 $ y $ 是 $ x $ 的函数的是()

A.
B.
C.
D.$ y = 2x + 1 $

B

根据函数定义，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应。A选项表格中x每取一个值，y有唯一值对应；C选项图像中x每取一个值，y有唯一值对应；D选项为一次函数，满足函数定义。B选项图像为圆，对于x在-半径到半径之间的某些值，y有两个值与之对应，不满足函数定义。

2. 下列变量间的关系不是函数关系的是()

A.长方形的宽一定，其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径

C

A选项中，设长方形的宽为$a(a$为定值$)$，长为$x$，面积为$y$，则$y = ax$，每一个$x$确定唯一一个$y$，是函数关系；
B选项中，设正方形周长为$l$，边长为$a$，面积为$S$，因为$l = 4a$，则$a=\frac{l}{4}$，$S = a^{2}=\frac{l^{2}}{16}$，每一个$l$确定唯一一个$S$，是函数关系；
C选项中，设等腰三角形的底边长为$a$，高为$h$，面积为$S$，则$S=\frac{1}{2}ah$，但高$h$不确定，所以每一个$a$不能确定唯一的$S$，不是函数关系；
D选项中，设圆的周长为$C$，半径为$r$，则$C = 2π r$，每一个$r$确定唯一一个$C$，是函数关系。

3. 已知函数 $ y = x^{2} - x + 2 $，当 $ x = 2 $ 时，函数值 $ y = $；已知函数 $ y = 3x^{2} $，当 $ x = $时，函数值 $ y = 12 $。

第一空填$4$；第二空填$\pm2$。

对于第一问，已知函数$y=x^2 - x + 2$，当$x = 2$时，将$x=2$代入函数$y=x^2 - x + 2$中，可得$y=2^{2}-2 + 2$，先计算指数运算$2^{2}=4$，则$y=4-2 + 2=4$。
对于第二问，已知函数$y = 3x^{2}$，$y = 12$，将$y = 12$代入函数$y = 3x^{2}$中，得到$12 = 3x^{2}$，两边同时除以$3$，可得$x^{2}=4$，则$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$。

4. 有下列关于变量 $ x $ 与 $ y $ 的关系：① $ x - 2y = 0 $；② $ |y| = x $；③ $ y = 3x^{2} $；④ $ y = 2x - 3 $；⑤ $ xy = -1 $。其中 $ y $ 是 $ x $ 的函数的是(填序号)。

①③④⑤

①：对于 $x - 2y = 0$，可以解得 $y = \frac{1}{2}x$。对于每一个$x$，有唯一的$y$与之对应，因此$y$是$x$的函数。
②：对于$ |y| = x$，当$x ＞ 0$时，例如$x = 1$，$y$可以是$1$或$-1$，即一个$x$值对应多个$y$值，所以$y$不是$x$的函数。
③：对于$ y = 3x^{2}$，每一个$x$值都对应一个唯一的$y$值，因此$y$是$x$的函数。
④：对于$ y = 2x - 3$，每一个$x$值都对应一个唯一的$y$值，所以$y$是$x$的函数。
⑤：对于$ xy = -1$，可以解得 $x = -\frac{1}{y}$，其中$y≠0$，每一个$x$值都对应一个唯一的$y$值（$y≠0$），也可以认为每一个$y$值（$y≠0$）都对应一个唯一的$x$值，所以$y$是$x$的函数。
综合以上分析，$y$是$x$的函数的有①③④⑤。

5. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的。如果把学习后的时间记为 $ x $（时），记忆留存率记为 $ y(\%) $，则根据实验数据可绘制出如图所示的曲线，此即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”。该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响。

(1) $ y $ 是关于 $ x $ 的函数吗？为什么？
(2) 请说明点 $ D $ 的实际意义；
(3) 根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议。

(1) 是。因为对于每一个确定的学习后时间 $ x $，都有唯一确定的记忆留存率 $ y $ 与之对应，符合函数的定义。
(2) 学习后 24 小时，记忆留存率为 33.7%。
(3) 学习后应及时复习，以减缓遗忘速度。