登录
4. 请指出下列变化中的变量与常量:
(1)某地手机通话费为0.1元/min,李明在手机话费卡中存入30元,记此后他的手机通话时间为t min,话费卡中的余额为w元;
(2)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,圆周长为C,圆周率(圆周长与直径之比)为$ π $;
(3)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放),第一个抽屉放入x本,第二个抽屉放入y本.
(1)某地手机通话费为0.1元/min,李明在手机话费卡中存入30元,记此后他的手机通话时间为t min,话费卡中的余额为w元;
(2)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,圆周长为C,圆周率(圆周长与直径之比)为$ π $;
(3)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放),第一个抽屉放入x本,第二个抽屉放入y本.
答案
(1)
变量：$t$，$w$；
常量：$0.1$，$30$。
(2)
变量：$r$，$C$；
常量：$π$。
(3)
变量：$x$，$y$；
常量：$10$。
变量：$t$，$w$；
常量：$0.1$，$30$。
(2)
变量：$r$，$C$；
常量：$π$。
(3)
变量：$x$，$y$；
常量：$10$。
5. 某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,先填写下表,再用含x的式子表示y.
则y与x之间的关系式是,其中是变量,是常量.
则y与x之间的关系式是,其中是变量,是常量.
答案
| 份数 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总价/元 | 0.4 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | ... |
$y$与$x$之间的关系式是$y = 0.4x$，其中$x$、$y$是变量，$0.4$是常量。
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总价/元 | 0.4 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | ... |
$y$与$x$之间的关系式是$y = 0.4x$，其中$x$、$y$是变量，$0.4$是常量。
6. (数学与生活)某品牌的自行车链条每节长为2.5 cm,每两节链条相连部分重叠的圆的直径为0.8 cm.按照这种连接方式,n节链条总长度为y cm,则y与n的关系式是.
答案
当有1节链条时，长度为2.5 cm。
当有2节链条时，总长度为2节链条的长度减去1个重叠部分的长度，即：$2.5×2 - 0.8 = 5 - 0.8 = 4.2$ cm。
当有3节链条时，总长度为3节链条的长度减去2个重叠部分的长度，即：$2.5×3 - 0.8×2 = 7.5 - 1.6 = 5.9$ cm。
观察可得，n节链条有(n-1)个重叠部分。
所以，n节链条总长度$y = 2.5n - 0.8(n - 1)$，化简得：$y = 2.5n - 0.8n + 0.8 = 1.7n + 0.8$。
故y与n的关系式是$y = 1.7n + 0.8$。
当有2节链条时，总长度为2节链条的长度减去1个重叠部分的长度，即：$2.5×2 - 0.8 = 5 - 0.8 = 4.2$ cm。
当有3节链条时，总长度为3节链条的长度减去2个重叠部分的长度，即：$2.5×3 - 0.8×2 = 7.5 - 1.6 = 5.9$ cm。
观察可得，n节链条有(n-1)个重叠部分。
所以，n节链条总长度$y = 2.5n - 0.8(n - 1)$，化简得：$y = 2.5n - 0.8n + 0.8 = 1.7n + 0.8$。
故y与n的关系式是$y = 1.7n + 0.8$。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 $ x $ 与 $ y $，并且对于 $ x $ 的每一个确定的值，$ y $ 都有的值与其对应，那么我们就说 $ x $ 是，$ y $ 是 $ x $ 的。
答案
唯一确定，自变量，函数
解析
根据函数的定义，在一个变化过程中，如果有两个变量$x$与$y$，并且对于$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么就说$x$是自变量，$y$是$x$的函数。
思考 如何判断两个变量之间是否具有函数关系？
填空 已知变量 $ x $ 和 $ x - 2 $，那么 $ x - 2 $ 是不是 $ x $ 的函数？你的结论是：(填“是”或“不是”)。
填空 已知变量 $ x $ 和 $ x - 2 $，那么 $ x - 2 $ 是不是 $ x $ 的函数？你的结论是：(填“是”或“不是”)。
答案
是
解析
根据函数概念，对于变量x的每一个确定的值，变量x-2都有唯一确定的值与之对应，所以x-2是x的函数。
例 1 下列关系式中，$ y $ 是 $ x $ 的函数的是(填序号)。
① $ y = x^{2} $ ② $ y = \pm x^{2} $ ③ $ y^{2} = x $
④ $ y - 2x = 0 $ ⑤ $ y = |x| $ ⑥ $ y = -\frac{1}{x} $
名师导引 函数关系成立要满足两个条件：一是在变化过程中有两个变量，二是自变量在取值范围内每取一个值，另一个变量有且仅有一个值与之对应。
① $ y = x^{2} $ ② $ y = \pm x^{2} $ ③ $ y^{2} = x $
④ $ y - 2x = 0 $ ⑤ $ y = |x| $ ⑥ $ y = -\frac{1}{x} $
名师导引 函数关系成立要满足两个条件：一是在变化过程中有两个变量，二是自变量在取值范围内每取一个值，另一个变量有且仅有一个值与之对应。
答案
①④⑤⑥
解析：根据函数定义，对于自变量 $ x $ 的每一个取值，因变量 $ y $ 都有唯一确定的值与之对应。
① $ y = x^2 $：对于任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
② $ y = \pm x^2 $：一个 $ x $ 对应两个 $ y $ 值，不是函数。
③ $ y^2 = x $：一个 $ x $（$ x ≥ 0 $）对应两个 $ y $ 值，不是函数。
④ $ y - 2x = 0 $ 即 $ y = 2x $：对于任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
⑤ $ y = |x| $：对于任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
⑥ $ y = -\frac{1}{x} $：对于 $ x ≠ 0 $ 的任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
解析：根据函数定义，对于自变量 $ x $ 的每一个取值，因变量 $ y $ 都有唯一确定的值与之对应。
① $ y = x^2 $：对于任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
② $ y = \pm x^2 $：一个 $ x $ 对应两个 $ y $ 值，不是函数。
③ $ y^2 = x $：一个 $ x $（$ x ≥ 0 $）对应两个 $ y $ 值，不是函数。
④ $ y - 2x = 0 $ 即 $ y = 2x $：对于任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
⑤ $ y = |x| $：对于任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
⑥ $ y = -\frac{1}{x} $：对于 $ x ≠ 0 $ 的任意 $ x $，$ y $ 有唯一值，是函数。
变式训练 下列四个关系式中，$ y $ 不是 $ x $ 的函数的是()
A.$ y = -\frac{1}{3}x $
B.$ y = 2x^{2} $
C.$ 3x - y = 0 $
D.$ y = \pm x $
A.$ y = -\frac{1}{3}x $
B.$ y = 2x^{2} $
C.$ 3x - y = 0 $
D.$ y = \pm x $
答案
D
解析
根据函数的定义，对于自变量$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应。
选项A，$y = -\frac{1}{3}x$，对于$x$的每一个值，$y$都有唯一确定的值，所以$y$是$x$的函数。
选项B，$y = 2x^{2}$，对于$x$的每一个值，$y$都有唯一确定的值，所以$y$是$x$的函数。
选项C，由$3x - y = 0$可得$y = 3x$，对于$x$的每一个值，$y$都有唯一确定的值，所以$y$是$x$的函数。
选项D，$y = \pm x$，当$x$取一个非零值时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中“唯一确定”这一条件，所以$y$不是$x$的函数。
选项A，$y = -\frac{1}{3}x$，对于$x$的每一个值，$y$都有唯一确定的值，所以$y$是$x$的函数。
选项B，$y = 2x^{2}$，对于$x$的每一个值，$y$都有唯一确定的值，所以$y$是$x$的函数。
选项C，由$3x - y = 0$可得$y = 3x$，对于$x$的每一个值，$y$都有唯一确定的值，所以$y$是$x$的函数。
选项D，$y = \pm x$，当$x$取一个非零值时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中“唯一确定”这一条件，所以$y$不是$x$的函数。
例 2 李叔叔记录了他连续 5 天每天使用手机的时间(单位：h)：
(1) 在这个情境中，自变量是，因变量是。
(2) 周五这天，自变量是，对应的函数值是。
(3) 这个对应关系是函数吗？为什么？
(1) 在这个情境中，自变量是，因变量是。
(2) 周五这天，自变量是，对应的函数值是。
(3) 这个对应关系是函数吗？为什么？
答案
(1) 在这个情境中，自变量是日期($x$)，因变量是使用时间($y$)。
(2) 周五这天，自变量是周五，对应的函数值是$3$。
(3) 是函数。
因为对于每一个日期$x$，使用时间$y$都有唯一的值与之对应。
(2) 周五这天，自变量是周五，对应的函数值是$3$。
(3) 是函数。
因为对于每一个日期$x$，使用时间$y$都有唯一的值与之对应。
