6. 在函数 $ y = \frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x - 5} $ 中，自变量 $ x $ 的取值范围是。

$x≥ 3$且$x≠ 5$（（若用选项表示，假设本题为填空题则按上述填写，若为选择题且选项符合则选对应选项）这里按填空理解给出范围表述）。

要使函数 $ y = \frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x - 5} $ 有意义，需满足以下条件：
1. $\sqrt{x - 3}$ 中的被开方数 $x - 3 ≥ 0$，即 $x ≥ 3$。
2. $\sqrt{x + 1}$ 中的被开方数 $x + 1 ＞ 0$（分母不能为 $0$），即 $x ＞ -1$，结合 $x ≥ 3$，此条件取 $x ≥ 3$。
3. 分式 $\frac{1}{x - 5}$ 中分母 $x - 5≠ 0$，即 $x≠ 5$。
综合以上条件，自变量 $x$ 的取值范围是 $x ≥ 3$ 且 $x≠ 5$。

用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的.

解析式

根据函数的定义可知，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。

思考 如何确定函数解析式中自变量的取值范围？

解：确定函数解析式中自变量的取值范围，需考虑以下几种情况：
1. 当函数解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数，例如$y = 2x + 1$，$x$可以取任意实数。
2. 当函数解析式是分式时，要保证分母不为零。例如$y=\dfrac{1}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≠0$。因为当$x = 0$时，分式$\dfrac{1}{x}$无意义。
3. 当函数解析式是二次根式时，被开方数须是非负数。例如$y=\sqrt{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≥0$。因为在实数范围内，负数没有平方根。
4. 当函数解析式中同时含有分式和二次根式时，要同时满足分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件。例如$y=\dfrac{1}{\sqrt{x - 1}}$，则$\begin{cases}x-1≥0\\\sqrt{x - 1}≠0\end{cases}$，解$x-1≥0$得$x≥1$，解$\sqrt{x - 1}≠0$即$x-1≠0$得$x≠1$，所以自变量$x$的取值范围是$x＞1$。
5. 对于实际问题中的函数关系，自变量的取值范围还需使实际问题有意义。例如，在计算长方形面积$S = ab$（$a$、$b$为长方形的长和宽），若$a$、$b$表示实际长度，那么$a＞0$，$b＞0$。
综上所述，确定函数自变量取值范围要根据函数解析式的形式以及实际问题的背景，综合考虑各种限制条件。

填空 (1)嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的x支笔，还买了单价为5元的两副三角尺，用y(元)表示琪琪花的总钱数，那么y与x之间的函数关系式应该是.
(2)函数y = $\sqrt{2x - 1}$中自变量x的取值范围是.

(1) y=1.5x+10；
(2) x≥1/2。

(1) 每支笔的价格：$\mathrm{单价} = \frac{9\mathrm{元}}{6\mathrm{支}} = 1.5 \mathrm{元/支}$。
琪琪购买笔和三角尺的总花费：
笔的总价：$1.5 × x = 1.5x \mathrm{元}$。
三角尺的总价：$2 × 5\mathrm{元} = 10\mathrm{元}$。
因此，总花费 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为：
$y = 1.5x + 10$。
(2) 对于函数 $y = \sqrt{2x - 1}$，根号内的表达式必须非负：
$2x - 1 ≥ 0$，
解这个不等式：
$2x ≥ 1$，
$x ≥ \frac{1}{2}$，
因此，自变量 $x$ 的取值范围是 $x ≥ \frac{1}{2}$。

例1 一个长方形的宽为x cm，长比宽多2 cm，面积为S cm².
(1)求S与x之间的函数解析式；
(2)当x = 8时，长方形的面积为多少平方厘米？

(1) $ S = x^2 + 2x $；(2) $ 80 $。

(1) 因为长方形的宽为 $ x \, \mathrm{cm} $，长比宽多 $ 2 \, \mathrm{cm} $，所以长为 $ (x + 2) \, \mathrm{cm} $。根据长方形面积公式 $ S = 长 × 宽 $，可得 $ S = x(x + 2) $，即 $ S = x^2 + 2x $。
(2) 当 $ x = 8 $ 时，代入 $ S = x^2 + 2x $，得 $ S = 8^2 + 2 × 8 = 64 + 16 = 80 $。

变式训练 已知池中有600 m³的水，每小时抽水50 m³.
(1)写出剩余水的体积V(m³)与时间t(h)的函数解析式.
(2)8 h后，池中还有多少水？
(3)几小时后，池中还有100 m³的水？

【解析】：
(1) 每小时抽水50 m³，t小时抽水50t m³，剩余水的体积V=600 - 50t。因为抽水时间t不能为负数，且剩余水体积不能为负数，所以0≤t≤12，函数解析式为V=600 - 50t（0≤t≤12）。
(2) 当t=8时，V=600 - 50×8=600 - 400=200（m³）。
(3) 当V=100时，100=600 - 50t，50t=500，t=10（h）。
【答案】：
(1) V=600 - 50t（0≤t≤12）
(2) 200 m³
(3) 10 h

(1) 每小时抽水50 m³，t小时抽水50t m³，剩余水的体积V=600 - 50t。因为抽水时间t不能为负数，且剩余水体积不能为负数，所以0≤t≤12，函数解析式为V=600 - 50t（0≤t≤12）。
(2) 当t=8时，V=600 - 50×8=600 - 400=200（m³）。
(3) 当V=100时，100=600 - 50t，50t=500，t=10（h）。

例2 求下列函数中自变量的取值范围：
(1)y = 2x + 3； (2)y = $\frac{1}{x - 5}$；
(3)y = $\sqrt{x + 2}$； (4)y = $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$.
名师导引 (1)解析式为整式时，自变量可取全体实数；(2)解析式含分式时，分母不能为0；(3)解析式含二次根式时，被开方数为非负数；(4)当自变量的取值范围有多种要求时，就取它们的公共部分.

(1) $x$取一切实数。
(2)由$x - 5≠ 0$，得$x≠ 5$。
(3)由$x + 2≥ 0$，得$x≥ - 2$。
(4) 由$\begin{cases}x - 1≥ 0, \\x - 3≠ 0.\end{cases}$
得$\begin{cases}x≥ 1, \\x≠ 3.\end{cases}$
即$x≥ 1$且$x≠ 3$。

变式训练 求下列函数中自变量的取值范围：
(1)y = $\sqrt{3 - 2x}$ + $\frac{1}{x}$； (2)y = $\frac{x + 1}{2x - 3}$.

(1)$x ＜ 0$或$0 ＜ x ≤ \frac{3}{2}$(或写为$\left \{ x∣ x ≤ \frac{3}{2} 且 x\ne 0 \right \}$ )
(2)$x \ne \frac{3}{2}$ (或写为$\left \{ x∣ x\ne \frac{3}{2} \right \}$ )

(1)对于函数$y = \sqrt{3 - 2x}+\frac{1}{x}$，需要考虑平方根下的表达式非负以及分母不为零的情况。
由$3 - 2x ≥ 0$，得到$x ≤ \frac{3}{2}$（平方根下表达式非负），
由$x ≠ 0$（分母不为零），
综合以上两个条件，自变量的取值范围为$x ＜ 0$或$0 ＜ x ≤ \frac{3}{2}$。
(2)对于函数$y = \frac{x + 1}{2x - 3}$，需要确保分母不为零。
由$2x - 3 ≠ 0$，得到$x ≠ \frac{3}{2}$，
所以自变量的取值范围为$x ≠ \frac{3}{2}$。