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24. (本小题满分13分)数学活动课上,老师给同学们提供了一张矩形纸片$ABCD$,其中$AB=3$,$BC=4$,要求各小组开展"矩形的折叠"探究活动.
(1) 甲小组给出了如下的操作及猜想,试判断甲小组的猜想是否正确,并说明理由.
(2) 如图②,乙小组按照甲小组的方式操作发现,当$∠ NME=∠ CAD$时,点$E$恰好落在矩形的对角线$AC$上.求出图中线段$MN$的长.
(3) 丙小组按照甲小组的过程操作,进一步探究并提出问题:当$∠ NME=∠ CAD$时,过点$E$作$EF// BC$交射线$CA$于点$F$.若$EF=EN$,则$BN$的长是多少?
(1) 甲小组给出了如下的操作及猜想,试判断甲小组的猜想是否正确,并说明理由.
(2) 如图②,乙小组按照甲小组的方式操作发现,当$∠ NME=∠ CAD$时,点$E$恰好落在矩形的对角线$AC$上.求出图中线段$MN$的长.
(3) 丙小组按照甲小组的过程操作,进一步探究并提出问题:当$∠ NME=∠ CAD$时,过点$E$作$EF// BC$交射线$CA$于点$F$.若$EF=EN$,则$BN$的长是多少?
答案
(1) 正确；(2) 5/2；(3) 12/11或12/5。
解析
(1) 正确。理由：由折叠得∠BMN=∠NME，∵∠NME=∠CAD，∴∠BMN=∠CAD。∵矩形ABCD中AD//BC，∴∠CAD=∠ACB，∴∠BMN=∠ACB，∴MN//AC。
(2) 设BN=3k，BM=4k（由(1)MN//AC得△BMN∽△BCA，相似比3:4）。建立坐标系，B(0,0)，N(0,3k)，M(4k,0)。E为B折叠后对应点，由MN⊥BE且MN斜率-3/4，得BE斜率4/3，设E(a,4a/3)。E在AC：y=-3/4x+3，∴4a/3=-3/4a+3，解得a=36/25，E(36/25,48/25)。EM=BM=4k，∴(4k-36/25)²+(0-48/25)²=(4k)²，解得k=1/2。MN=√[(4k)²+(3k)²]=5k=5/2。
(3) 由(2)E(72k/25,96k/25)，EN=3k。EF//BC，F在CA上，F((100-128k)/25,96k/25)，EF=|4-8k|。EF=EN得|4-8k|=3k。
情况1：4-8k=3k，k=4/11，BN=3k=12/11；
情况2：4-8k=-3k，k=4/5，BN=3k=12/5。
综上，BN=12/11或12/5。
(2) 设BN=3k，BM=4k（由(1)MN//AC得△BMN∽△BCA，相似比3:4）。建立坐标系，B(0,0)，N(0,3k)，M(4k,0)。E为B折叠后对应点，由MN⊥BE且MN斜率-3/4，得BE斜率4/3，设E(a,4a/3)。E在AC：y=-3/4x+3，∴4a/3=-3/4a+3，解得a=36/25，E(36/25,48/25)。EM=BM=4k，∴(4k-36/25)²+(0-48/25)²=(4k)²，解得k=1/2。MN=√[(4k)²+(3k)²]=5k=5/2。
(3) 由(2)E(72k/25,96k/25)，EN=3k。EF//BC，F在CA上，F((100-128k)/25,96k/25)，EF=|4-8k|。EF=EN得|4-8k|=3k。
情况1：4-8k=3k，k=4/11，BN=3k=12/11；
情况2：4-8k=-3k，k=4/5，BN=3k=12/5。
综上，BN=12/11或12/5。
