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一、选择题(每题 5 分，共 20 分)
1. 对于分式$\dfrac{2x - 3}{x + 2}$，下列说法错误的是()
A. 当$x = \dfrac{3}{2}$时，分式的值为 0
B. 当$x = - 2$时，分式无意义
C. 当$x ＞ 1$时，分式的值为正数
D. 当$x = 5$时，分式的值为 1
1. 对于分式$\dfrac{2x - 3}{x + 2}$，下列说法错误的是()
A. 当$x = \dfrac{3}{2}$时，分式的值为 0
B. 当$x = - 2$时，分式无意义
C. 当$x ＞ 1$时，分式的值为正数
D. 当$x = 5$时，分式的值为 1
答案
解：
逐一分析各选项：
A. 当$x=\dfrac{3}{2}$时，分子$2x-3=2×\dfrac{3}{2}-3=0$，分母$x+2=\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{7}{2}≠0$，分式的值为0，A正确；
B. 当$x=-2$时，分母$x+2=-2+2=0$，分式无意义，B正确；
C. 若分式的值为正数，则$\begin{cases}2x-3＞0 \\ x+2＞0\end{cases}$或$\begin{cases}2x-3＜0 \\ x+2＜0\end{cases}$，
解得$x＞\dfrac{3}{2}$或$x＜-2$，
当$1＜x＜\dfrac{3}{2}$时，分式的值为负数，故C错误；
D. 当$x=5$时，$\dfrac{2×5-3}{5+2}=\dfrac{7}{7}=1$，分式的值为1，D正确。
综上，答案为C。
逐一分析各选项：
A. 当$x=\dfrac{3}{2}$时，分子$2x-3=2×\dfrac{3}{2}-3=0$，分母$x+2=\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{7}{2}≠0$，分式的值为0，A正确；
B. 当$x=-2$时，分母$x+2=-2+2=0$，分式无意义，B正确；
C. 若分式的值为正数，则$\begin{cases}2x-3＞0 \\ x+2＞0\end{cases}$或$\begin{cases}2x-3＜0 \\ x+2＜0\end{cases}$，
解得$x＞\dfrac{3}{2}$或$x＜-2$，
当$1＜x＜\dfrac{3}{2}$时，分式的值为负数，故C错误；
D. 当$x=5$时，$\dfrac{2×5-3}{5+2}=\dfrac{7}{7}=1$，分式的值为1，D正确。
综上，答案为C。
2. 已知$M$表示一个整式，若$\dfrac{2x}{M}$是最简分式，则$M$可以是()
A.7
B.$8x$
C.$x^{2}-x$
D.$y^{2}$
A.7
B.$8x$
C.$x^{2}-x$
D.$y^{2}$
答案
D
解析
根据最简分式的定义（分子、分母为整式，分母含字母，且分子与分母无公因式）逐一分析：
1. 选项A：$M=7$，$\dfrac{2x}{7}$是整式，不是分式，不符合要求；
2. 选项B：$M=8x$，分子$2x$与分母$8x$有公因式$2x$，约分后为$\dfrac{1}{4}$，不是最简分式；
3. 选项C：$M=x^2 - x=x(x-1)$，分子$2x$与分母有公因式$x$，约分后为$\dfrac{2}{x-1}$，不是最简分式；
4. 选项D：$M=y^2$，分子$2x$与分母$y^2$无公因式，且分母含字母，$\dfrac{2x}{y^2}$是最简分式，符合要求。
1. 选项A：$M=7$，$\dfrac{2x}{7}$是整式，不是分式，不符合要求；
2. 选项B：$M=8x$，分子$2x$与分母$8x$有公因式$2x$，约分后为$\dfrac{1}{4}$，不是最简分式；
3. 选项C：$M=x^2 - x=x(x-1)$，分子$2x$与分母有公因式$x$，约分后为$\dfrac{2}{x-1}$，不是最简分式；
4. 选项D：$M=y^2$，分子$2x$与分母$y^2$无公因式，且分母含字母，$\dfrac{2x}{y^2}$是最简分式，符合要求。
3. 将分式$\dfrac{x + y}{2xy}$中的$x$，$y$的值都扩大为原来的 3 倍，则分式的值()
A.不变
B.缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$
C.扩大为原来的 6 倍
D.扩大为原来的 3 倍
A.不变
B.缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$
C.扩大为原来的 6 倍
D.扩大为原来的 3 倍
答案
B
解析
将x，y都扩大为原来的3倍，代入分式得：
$\dfrac{3x + 3y}{2· 3x· 3y} = \dfrac{3(x + y)}{18xy} = \dfrac{x + y}{6xy} = \dfrac{1}{3}·\dfrac{x + y}{2xy}$，
即分式的值缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$。
$\dfrac{3x + 3y}{2· 3x· 3y} = \dfrac{3(x + y)}{18xy} = \dfrac{x + y}{6xy} = \dfrac{1}{3}·\dfrac{x + y}{2xy}$，
即分式的值缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$。
4. 下列分式运算的结果正确的是()
A.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{a + b}$
B.$\dfrac{(a^{3})^{2}}{a}=a^{3}$
C.$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a + b}=a + b$
D.$\dfrac{a - 3}{a^{2}-6a + 9}=\dfrac{1}{a - 3}(a≠3)$
A.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{a + b}$
B.$\dfrac{(a^{3})^{2}}{a}=a^{3}$
C.$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a + b}=a + b$
D.$\dfrac{a - 3}{a^{2}-6a + 9}=\dfrac{1}{a - 3}(a≠3)$
答案
D
解析
1. 选项A：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}≠\dfrac{2}{a+b}$，错误；
2. 选项B：$\dfrac{(a^{3})^{2}}{a}=\dfrac{a^6}{a}=a^5≠a^3$，错误；
3. 选项C：$a^2+b^2$不能因式分解为$(a+b)^2$，故$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}≠a+b$，错误；
4. 选项D：$\dfrac{a-3}{a^2-6a+9}=\dfrac{a-3}{(a-3)^2}=\dfrac{1}{a-3}(a≠3)$，正确。
2. 选项B：$\dfrac{(a^{3})^{2}}{a}=\dfrac{a^6}{a}=a^5≠a^3$，错误；
3. 选项C：$a^2+b^2$不能因式分解为$(a+b)^2$，故$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}≠a+b$，错误；
4. 选项D：$\dfrac{a-3}{a^2-6a+9}=\dfrac{a-3}{(a-3)^2}=\dfrac{1}{a-3}(a≠3)$，正确。
二、填空题(每空 5 分，共 40 分)
5. 当$x =$时，分式$\dfrac{x - 3}{x}$的值为 0.
5. 当$x =$时，分式$\dfrac{x - 3}{x}$的值为 0.
答案
解：要使分式$\dfrac{x - 3}{x}$的值为0，需满足
$\begin{cases}x - 3 = 0 \\x ≠ 0\end{cases}$
由$x - 3 = 0$得$x = 3$，
此时$x = 3 ≠ 0$，符合条件。
故答案为：3。
$\begin{cases}x - 3 = 0 \\x ≠ 0\end{cases}$
由$x - 3 = 0$得$x = 3$，
此时$x = 3 ≠ 0$，符合条件。
故答案为：3。
6. 分式$\dfrac{1}{3a^{2}b}$和$\dfrac{1}{2ab^{2}}$的最简公分母是.
答案
$6a^2b^2$
解析
确定最简公分母时，先求分母系数3和2的最小公倍数6；再取字母a的最高次幂$a^2$、字母b的最高次幂$b^2$，将它们相乘，得到最简公分母为$6a^2b^2$。
7. 已知$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=3$，则代数式$\dfrac{5x + xy - 5y}{x - xy - y}$的值为.
答案
$\dfrac{7}{2}$
解析
1. 由$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=3$通分得$\dfrac{y-x}{xy}=3$，即$y-x=3xy$，故$x-y=-3xy$；
2. 变形所求代数式：
分子：$5x + xy - 5y = 5(x - y) + xy$，
分母：$x - xy - y = (x - y) - xy$；
3. 将$x-y=-3xy$代入：
分子$=5×(-3xy)+xy=-14xy$，分母$=-3xy-xy=-4xy$；
4. 约分得$\dfrac{-14xy}{-4xy}=\dfrac{7}{2}$（$xy≠0$）。
2. 变形所求代数式：
分子：$5x + xy - 5y = 5(x - y) + xy$，
分母：$x - xy - y = (x - y) - xy$；
3. 将$x-y=-3xy$代入：
分子$=5×(-3xy)+xy=-14xy$，分母$=-3xy-xy=-4xy$；
4. 约分得$\dfrac{-14xy}{-4xy}=\dfrac{7}{2}$（$xy≠0$）。
8. 写出一个分母至少含有两项且分子、分母能够约分的分式：.
答案
$\frac{x+1}{x^2 - 1}$（答案不唯一）
解析
先构造含至少两项的分母，再使分子与分母存在公因式。例如取分母为$x^2 - 1$（含两项），分子为$x+1$，二者有公因式$x+1$可约分，得到符合要求的分式$\frac{x+1}{x^2 - 1}$（答案不唯一）。
9. 已知$a - b - 1 = 0$，则代数式$\dfrac{3(a - 2b)+3b}{a^{2}-2ab + b^{2}}$的值为.
答案
3
解析
由$a - b - 1 = 0$得$a - b = 1$。
化简代数式：
分子：$3(a - 2b)+3b=3a - 6b + 3b=3(a - b)$；
分母：$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$；
则原式$=\dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2}=\dfrac{3}{a - b}$，代入$a - b = 1$，得$\dfrac{3}{1}=3$。
化简代数式：
分子：$3(a - 2b)+3b=3a - 6b + 3b=3(a - b)$；
分母：$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$；
则原式$=\dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2}=\dfrac{3}{a - b}$，代入$a - b = 1$，得$\dfrac{3}{1}=3$。
10. 关于$x$的分式方程$\dfrac{1}{x + 2}+\dfrac{ax}{(x - 1)(x + 2)}=\dfrac{2}{x - 1}$有增根，则$a$的值是.
答案
$6$或$-\dfrac{3}{2}$
解析
1. 确定增根：原方程分母为$(x+2)(x-1)$，令分母为0，得增根为$x=1$或$x=-2$；
2. 去分母化整式方程：方程两边同乘$(x-1)(x+2)$，得$(x-1)+ax=2(x+2)$，整理得$(a-1)x=5$；
3. 代入增根求$a$：
将$x=1$代入$(a-1)x=5$，解得$a=6$；
将$x=-2$代入$(a-1)x=5$，解得$a=-\frac{3}{2}$；
综上，$a$的值为$6$或$-\frac{3}{2}$。
2. 去分母化整式方程：方程两边同乘$(x-1)(x+2)$，得$(x-1)+ax=2(x+2)$，整理得$(a-1)x=5$；
3. 代入增根求$a$：
将$x=1$代入$(a-1)x=5$，解得$a=6$；
将$x=-2$代入$(a-1)x=5$，解得$a=-\frac{3}{2}$；
综上，$a$的值为$6$或$-\frac{3}{2}$。
11. 若分式$\dfrac{2}{m - 1}$的值为整数，则正整数$m =$.
答案
2或3
解析
要使分式$\dfrac{2}{m - 1}$的值为整数，则$m-1$是2的整数约数，2的整数约数为$\pm1$，$\pm2$。
因为$m$是正整数，分别分析：
1. 当$m-1=1$时，$m=2$；
2. 当$m-1=2$时，$m=3$；
3. 当$m-1=-1$时，$m=0$（不是正整数，舍去）；
4. 当$m-1=-2$时，$m=-1$（不是正整数，舍去）。
综上，正整数$m$为2或3。
因为$m$是正整数，分别分析：
1. 当$m-1=1$时，$m=2$；
2. 当$m-1=2$时，$m=3$；
3. 当$m-1=-1$时，$m=0$（不是正整数，舍去）；
4. 当$m-1=-2$时，$m=-1$（不是正整数，舍去）。
综上，正整数$m$为2或3。
12. 当$x$分别取 2 025，2 024，2 023，$···$，3，2，1 时，计算分式$\dfrac{1}{x^{2}+x}$的值，所得结果相加的和为.
答案
$\dfrac{2025}{2026}$
解析
先对分式变形：$\dfrac{1}{x^2+x}=\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$。
当$x$取2025，2024，…，1时，所得结果相加为：
$(\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})+(\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025})+\dots+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(1-\dfrac{1}{2})$
去括号后中间项抵消，剩余$1-\dfrac{1}{2026}=\dfrac{2025}{2026}$。
当$x$取2025，2024，…，1时，所得结果相加为：
$(\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})+(\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025})+\dots+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(1-\dfrac{1}{2})$
去括号后中间项抵消，剩余$1-\dfrac{1}{2026}=\dfrac{2025}{2026}$。
