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三、解答题（共 40 分）
13. （每题 5 分，共 10 分）计算：
（1）$\dfrac{1}{a + 2}-\dfrac{4}{4 - a^{2}}$；
（2）$\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x + y}·(\dfrac{x + y}{2x}-x - y)$.
13. （每题 5 分，共 10 分）计算：
（1）$\dfrac{1}{a + 2}-\dfrac{4}{4 - a^{2}}$；
（2）$\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x + y}·(\dfrac{x + y}{2x}-x - y)$.
答案
解：（1）$\dfrac{1}{a + 2}-\dfrac{4}{4 - a^{2}}$
$=\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{4}{a^2-4}$
$=\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{4}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{a-2}{(a+2)(a-2)}+\dfrac{4}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{a-2+4}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{1}{a-2}$
（2）$\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x + y}·(\dfrac{x + y}{2x}-x - y)$
$=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+y}·\dfrac{x+y}{2x}+\dfrac{1}{x+y}·(x+y)$
$=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2x}+1$
$=1$
$=\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{4}{a^2-4}$
$=\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{4}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{a-2}{(a+2)(a-2)}+\dfrac{4}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{a-2+4}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{1}{a-2}$
（2）$\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x + y}·(\dfrac{x + y}{2x}-x - y)$
$=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+y}·\dfrac{x+y}{2x}+\dfrac{1}{x+y}·(x+y)$
$=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2x}+1$
$=1$
14. （10 分）化简并求值：$(1-\dfrac{3}{a + 1})÷\dfrac{a^{2}-4a + 4}{a + 1}$，从$- 2 ＜ a≤2$的范围内选择一个合适的整数作为$a$的值代入求值.
答案
解：
$(1-\dfrac{3}{a + 1})÷\dfrac{a^{2}-4a + 4}{a + 1}$
$=(\dfrac{a+1}{a+1}-\dfrac{3}{a+1})÷\dfrac{(a-2)^2}{a+1}$
$=\dfrac{a-2}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\dfrac{1}{a-2}$
因为分式有意义，所以$a+1≠0$且$a-2≠0$，即$a≠-1$且$a≠2$。
在$-2＜a≤2$的整数中，可取$a=0$（或$a=1$）。
当$a=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$；
（或当$a=1$时，原式$=\dfrac{1}{1-2}=-1$）
$(1-\dfrac{3}{a + 1})÷\dfrac{a^{2}-4a + 4}{a + 1}$
$=(\dfrac{a+1}{a+1}-\dfrac{3}{a+1})÷\dfrac{(a-2)^2}{a+1}$
$=\dfrac{a-2}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a-2)^2}$
$=\dfrac{1}{a-2}$
因为分式有意义，所以$a+1≠0$且$a-2≠0$，即$a≠-1$且$a≠2$。
在$-2＜a≤2$的整数中，可取$a=0$（或$a=1$）。
当$a=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$；
（或当$a=1$时，原式$=\dfrac{1}{1-2}=-1$）
15. （每题 5 分，共 10 分）解下列方程：
（1）$\dfrac{2x}{x + 1}-1=\dfrac{2}{x + 1}$；
（2）$\dfrac{1}{x + 2}+\dfrac{4x}{x^{2}-4}=\dfrac{2}{x - 2}$.
（1）$\dfrac{2x}{x + 1}-1=\dfrac{2}{x + 1}$；
（2）$\dfrac{1}{x + 2}+\dfrac{4x}{x^{2}-4}=\dfrac{2}{x - 2}$.
答案
（1）
解：
方程两边同乘$x+1$（$x≠-1$），得：
$2x - (x+1) = 2$
去括号，得：
$2x - x - 1 = 2$
移项、合并同类项，得：
$x = 3$
检验：当$x=3$时，$x+1=4≠0$，
$\therefore x=3$是原方程的解。
（2）
解：
原方程可化为$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{4x}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{2}{x-2}$
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$（$x≠\pm2$），得：
$x-2 + 4x = 2(x+2)$
去括号，得：
$x - 2 + 4x = 2x + 4$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，
$\therefore x=2$是增根，原方程无解。
解：
方程两边同乘$x+1$（$x≠-1$），得：
$2x - (x+1) = 2$
去括号，得：
$2x - x - 1 = 2$
移项、合并同类项，得：
$x = 3$
检验：当$x=3$时，$x+1=4≠0$，
$\therefore x=3$是原方程的解。
（2）
解：
原方程可化为$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{4x}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{2}{x-2}$
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$（$x≠\pm2$），得：
$x-2 + 4x = 2(x+2)$
去括号，得：
$x - 2 + 4x = 2x + 4$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，
$\therefore x=2$是增根，原方程无解。
16. （10 分）某玩具公司生产了 A 和 B 两款玩具.已知每个 A 款玩具的售价比每个 B 款玩具的售价贵 5 元，按售价购买，600 元购买的 A 款玩具的数量是用 250 元购买 B 款玩具的数量的 2 倍.
（1）每个 A 款和 B 款玩具的售价分别是多少元？
（2）某班级 3 月准备爱心义卖，于是准备从该玩具公司购进一批玩具进行售卖，且将每个 A 款玩具售价定为 45 元，每个 B 款玩具的售价定为 36 元.若本次购进 B 款玩具的数量比购进 A 款玩具的数量的 2 倍还少 10 个，且两款玩具全部售出后总获利不少于 1 000 元，则该班级本次购进 A 款玩具至少是多少个？
（1）每个 A 款和 B 款玩具的售价分别是多少元？
（2）某班级 3 月准备爱心义卖，于是准备从该玩具公司购进一批玩具进行售卖，且将每个 A 款玩具售价定为 45 元，每个 B 款玩具的售价定为 36 元.若本次购进 B 款玩具的数量比购进 A 款玩具的数量的 2 倍还少 10 个，且两款玩具全部售出后总获利不少于 1 000 元，则该班级本次购进 A 款玩具至少是多少个？
答案
解：（1）设每个B款玩具的售价为$ x $元，则每个A款玩具的售价为$ (x+5) $元。
根据题意列方程：
$\frac{600}{x+5}=2×\frac{250}{x}$
方程两边同乘$ x(x+5) $得：
$ 600x=500(x+5) $
$ 600x=500x+2500 $
$ 100x=2500 $
解得$ x=25 $
检验：当$ x=25 $时，$ x(x+5)=25×30=750≠0 $，所以$ x=25 $是原方程的解。
则$ x+5=25+5=30 $
答：每个A款玩具的售价为30元，每个B款玩具的售价为25元。
（2）设该班级本次购进A款玩具$ m $个，则购进B款玩具$ (2m-10) $个。
每个A款玩具利润为$ 45-30=15 $元，每个B款玩具利润为$ 36-25=11 $元。
根据题意列不等式：
$ 15m + 11(2m-10)≥1000 $
$ 15m+22m-110≥1000 $
$ 37m≥1110 $
解得$ m≥30 $
答：该班级本次购进A款玩具至少是30个。
根据题意列方程：
$\frac{600}{x+5}=2×\frac{250}{x}$
方程两边同乘$ x(x+5) $得：
$ 600x=500(x+5) $
$ 600x=500x+2500 $
$ 100x=2500 $
解得$ x=25 $
检验：当$ x=25 $时，$ x(x+5)=25×30=750≠0 $，所以$ x=25 $是原方程的解。
则$ x+5=25+5=30 $
答：每个A款玩具的售价为30元，每个B款玩具的售价为25元。
（2）设该班级本次购进A款玩具$ m $个，则购进B款玩具$ (2m-10) $个。
每个A款玩具利润为$ 45-30=15 $元，每个B款玩具利润为$ 36-25=11 $元。
根据题意列不等式：
$ 15m + 11(2m-10)≥1000 $
$ 15m+22m-110≥1000 $
$ 37m≥1110 $
解得$ m≥30 $
答：该班级本次购进A款玩具至少是30个。
