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例 1 解下列方程：
（1）$\frac{20}{x}=\frac{24}{x + 1}$；
（2）$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{1 - x}{2 - x}$.
（1）$\frac{20}{x}=\frac{24}{x + 1}$；
（2）$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{1 - x}{2 - x}$.
答案
解：
（1）$\frac{20}{x}=\frac{24}{x + 1}$
方程两边同乘$x(x+1)$，得
$20(x+1)=24x$
展开，得
$20x+20=24x$
移项、合并同类项，得
$4x=20$
解得
$x=5$
检验：当$x=5$时，$x(x+1)=5×6=30≠0$，
所以$x=5$是原分式方程的解。
（2）$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{1 - x}{2 - x}$
原方程可化为$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{x - 1}{x - 2}$
方程两边同乘$x-2$，得
$1+3(x-2)=x-1$
展开，得
$1+3x-6=x-1$
移项、合并同类项，得
$2x=4$
解得
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，
所以$x=2$是增根，原分式方程无解。
（1）$\frac{20}{x}=\frac{24}{x + 1}$
方程两边同乘$x(x+1)$，得
$20(x+1)=24x$
展开，得
$20x+20=24x$
移项、合并同类项，得
$4x=20$
解得
$x=5$
检验：当$x=5$时，$x(x+1)=5×6=30≠0$，
所以$x=5$是原分式方程的解。
（2）$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{1 - x}{2 - x}$
原方程可化为$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{x - 1}{x - 2}$
方程两边同乘$x-2$，得
$1+3(x-2)=x-1$
展开，得
$1+3x-6=x-1$
移项、合并同类项，得
$2x=4$
解得
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，
所以$x=2$是增根，原分式方程无解。
例 2 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2x}{x - 2}+\frac{m}{x - 2}=3$.
(1)若方程的解为 $x = 3$，则 $m=$.
(2)若方程有增根，则增根为；$m$ 的值为.
(3)若方程的解是正数，则 $m$ 的取值范围是.
(1)若方程的解为 $x = 3$，则 $m=$.
(2)若方程有增根，则增根为；$m$ 的值为.
(3)若方程的解是正数，则 $m$ 的取值范围是.
答案
解：
(1)将$x=3$代入分式方程$\frac{2x}{x - 2}+\frac{m}{x - 2}=3$，得：
$\frac{2×3}{3-2}+\frac{m}{3-2}=3$
$6+m=3$
解得$m=-3$
(2)令分母$x-2=0$，得$x=2$，即增根为$x=2$。
方程两边同乘$(x-2)$，化为整式方程：
$2x+m=3(x-2)$
整理得$x=m+6$
将$x=2$代入$x=m+6$，得$2=m+6$，解得$m=-4$
(3)方程两边同乘$(x-2)$，得$2x+m=3(x-2)$
解得$x=m+6$
根据题意，得$\begin{cases}m+6＞0 \\ m+6≠2\end{cases}$
解得$m＞-6$且$m≠-4$
(1)将$x=3$代入分式方程$\frac{2x}{x - 2}+\frac{m}{x - 2}=3$，得：
$\frac{2×3}{3-2}+\frac{m}{3-2}=3$
$6+m=3$
解得$m=-3$
(2)令分母$x-2=0$，得$x=2$，即增根为$x=2$。
方程两边同乘$(x-2)$，化为整式方程：
$2x+m=3(x-2)$
整理得$x=m+6$
将$x=2$代入$x=m+6$，得$2=m+6$，解得$m=-4$
(3)方程两边同乘$(x-2)$，得$2x+m=3(x-2)$
解得$x=m+6$
根据题意，得$\begin{cases}m+6＞0 \\ m+6≠2\end{cases}$
解得$m＞-6$且$m≠-4$
1. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{A}+\frac{1}{x + 2}=0$ 的解为 $x = - 1$，则 $A$ 处可能为()
A.$1 - x$
B.$x - 1$
C.$2 - x$
D.$x - 2$
A.$1 - x$
B.$x - 1$
C.$2 - x$
D.$x - 2$
答案
B
解析
将$x=-1$代入方程$\frac{2}{A}+\frac{1}{x + 2}=0$，得：
$\frac{2}{A}+\frac{1}{-1+2}=0$，即$\frac{2}{A}+1=0$，解得此时$A=-2$。
分别将$x=-1$代入各选项：
A. $1-x=1-(-1)=2≠-2$；
B. $x-1=-1-1=-2$，符合要求；
C. $2-x=2-(-1)=3≠-2$；
D. $x-2=-1-2=-3≠-2$。
因此A处为$x-1$。
$\frac{2}{A}+\frac{1}{-1+2}=0$，即$\frac{2}{A}+1=0$，解得此时$A=-2$。
分别将$x=-1$代入各选项：
A. $1-x=1-(-1)=2≠-2$；
B. $x-1=-1-1=-2$，符合要求；
C. $2-x=2-(-1)=3≠-2$；
D. $x-2=-1-2=-3≠-2$。
因此A处为$x-1$。
2. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x - 2}+\frac{3}{2 - x}=1$ 有增根，则 $m$ 的值为()
A.$3$
B.$- 3$
C.$2$
D.$- 2$
A.$3$
B.$- 3$
C.$2$
D.$- 2$
答案
A
解析
1. 将原方程变形为$\frac{m}{x-2}-\frac{3}{x-2}=1$；
2. 两边同乘最简公分母$(x-2)$，得整式方程：$m - 3 = x - 2$；
3. 分式方程有增根，则增根满足$x-2=0$，即$x=2$；
4. 将$x=2$代入整式方程，得$m - 3 = 2 - 2$，解得$m=3$。
2. 两边同乘最简公分母$(x-2)$，得整式方程：$m - 3 = x - 2$；
3. 分式方程有增根，则增根满足$x-2=0$，即$x=2$；
4. 将$x=2$代入整式方程，得$m - 3 = 2 - 2$，解得$m=3$。
3. 若代数式 $\frac{2}{x}$ 和 $\frac{3}{x - 1}$ 的值相等，则 $x$ 的值为.
答案
$-2$
解析
根据题意列分式方程$\frac{2}{x}=\frac{3}{x-1}$，去分母得$2(x-1)=3x$，去括号得$2x-2=3x$，移项合并同类项得$-x=2$，解得$x=-2$。检验：将$x=-2$代入最简公分母$x(x-1)=(-2)×(-3)=6≠0$，故$x=-2$是原方程的解。
4. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3}{x}=\frac{2}{x - k}$ 的解是 $x = 6$，则 $k$ 的值为.
答案
2
解析
将$x=6$代入分式方程$\frac{3}{x}=\frac{2}{x - k}$，得$\frac{3}{6}=\frac{2}{6 - k}$，化简得$\frac{1}{2}=\frac{2}{6 - k}$，交叉相乘得$6 - k=4$，解得$k=2$。
5. 当 $m$ 为何值时，$\frac{1}{2m + 1}$ 与 $-\frac{1}{m}$ 相等？
答案
解：根据题意，得
$\frac{1}{2m + 1} = -\frac{1}{m}$
两边同乘$m(2m + 1)$（$m≠0$且$m≠-\frac{1}{2}$），得
$m = -(2m + 1)$
去括号，得
$m = -2m - 1$
移项、合并同类项，得
$3m = -1$
系数化为1，得
$m = -\frac{1}{3}$
检验：当$m = -\frac{1}{3}$时，$m(2m + 1)=-\frac{1}{3}×(2×(-\frac{1}{3})+1)=-\frac{1}{9}≠0$
所以$m = -\frac{1}{3}$是原方程的解。
答：当$m = -\frac{1}{3}$时，$\frac{1}{2m + 1}$与$-\frac{1}{m}$相等。
$\frac{1}{2m + 1} = -\frac{1}{m}$
两边同乘$m(2m + 1)$（$m≠0$且$m≠-\frac{1}{2}$），得
$m = -(2m + 1)$
去括号，得
$m = -2m - 1$
移项、合并同类项，得
$3m = -1$
系数化为1，得
$m = -\frac{1}{3}$
检验：当$m = -\frac{1}{3}$时，$m(2m + 1)=-\frac{1}{3}×(2×(-\frac{1}{3})+1)=-\frac{1}{9}≠0$
所以$m = -\frac{1}{3}$是原方程的解。
答：当$m = -\frac{1}{3}$时，$\frac{1}{2m + 1}$与$-\frac{1}{m}$相等。
