3. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + a}{x - 1}$ 的解为 $x = - 3$，则 $a$ 的值为.

1

将$x=-3$代入分式方程$\frac{x}{x - 3} = \frac{x + a}{x - 1}$，得$\frac{-3}{-3 - 3} = \frac{-3 + a}{-3 - 1}$，化简得$\frac{1}{2} = \frac{3 - a}{4}$，两边同乘4得$2 = 3 - a$，解得$a=1$。

4. 方程 $\frac{x}{x - 2} = 4$ 的解是.

$x=\frac{8}{3}$

1. 去分母：方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$），得$x=4(x-2)$；
2. 解整式方程：展开得$x=4x-8$，移项合并同类项得$-3x=-8$，解得$x=\frac{8}{3}$；
3. 检验：将$x=\frac{8}{3}$代入$x-2$，得$\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}≠0$，故$x=\frac{8}{3}$是原方程的解。

5. 当 $m$ 为何值时，$\frac{m}{m - 5} - 2$ 与 $\frac{m + 1}{m}$ 互为相反数？

解：根据题意，得
$\frac{m}{m - 5} - 2 + \frac{m + 1}{m} = 0$
方程两边同乘$m(m - 5)$，得
$m^2 - 2m(m - 5) + (m + 1)(m - 5) = 0$
展开并整理，得
$m^2 - 2m^2 + 10m + m^2 - 5m + m - 5 = 0$
$6m - 5 = 0$
解得
$m = \frac{5}{6}$
检验：当$m = \frac{5}{6}$时，$m(m - 5) = \frac{5}{6} × (\frac{5}{6} - 5) = -\frac{125}{36} ≠ 0$，
所以$m = \frac{5}{6}$是原方程的解。
答：当$m = \frac{5}{6}$时，$\frac{m}{m - 5} - 2$与$\frac{m + 1}{m}$互为相反数。

6. 解下列方程：

（1）$\frac{2}{x} = \frac{6}{2x + 1}$；

（2）$\frac{x}{x - 2} - \frac{x - 3}{2 - x} = 1$；
（3）$\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3x + 3} + 1$；
（4）$\frac{3}{x} + \frac{3}{x - 1} = \frac{x + 5}{x^{2} - x}$.

（1）解方程$\frac{2}{x} = \frac{6}{2x + 1}$
解：方程两边同乘$x(2x+1)$，得
$2(2x+1)=6x$
$4x+2=6x$
$4x-6x=-2$
$-2x=-2$
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(2x+1)=1×3=3≠0$
$\therefore x=1$是原方程的解。
（2）解方程$\frac{x}{x - 2} - \frac{x - 3}{2 - x} = 1$
解：原方程变形为$\frac{x}{x-2}+\frac{x-3}{x-2}=1$
方程两边同乘$(x-2)$，得
$x+(x-3)=x-2$
$x+x-3=x-2$
$x+x-x=-2+3$
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2=1-2=-1≠0$
$\therefore x=1$是原方程的解。
（3）解方程$\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3x + 3} + 1$
解：原方程变形为$\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{3(x+1)}+1$
方程两边同乘$3(x+1)$，得
$3x=2x+3(x+1)$
$3x=2x+3x+3$
$3x-2x-3x=3$
$-2x=3$
$x=-\frac{3}{2}$
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$3(x+1)=3×(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}≠0$
$\therefore x=-\frac{3}{2}$是原方程的解。
（4）解方程$\frac{3}{x} + \frac{3}{x - 1} = \frac{x + 5}{x^{2} - x}$
解：原方程变形为$\frac{3}{x}+\frac{3}{x-1}=\frac{x+5}{x(x-1)}$
方程两边同乘$x(x-1)$，得
$3(x-1)+3x=x+5$
$3x-3+3x=x+5$
$3x+3x-x=5+3$
$5x=8$
$x=\frac{8}{5}$
检验：当$x=\frac{8}{5}$时，$x(x-1)=\frac{8}{5}×\frac{3}{5}=\frac{24}{25}≠0$
$\therefore x=\frac{8}{5}$是原方程的解。

7. 【感知】下列一组方程：① $x + \frac{2}{x} = 3$；② $x + \frac{6}{x} = 5$；③ $x + \frac{12}{x} = 7$；….小明通过观察发现了其中蕴含的规律，并求出了前三个方程的解.他的解题过程如下：
① $x + \frac{1×2}{x} = 1 + 2$，解得 $x = 1$ 或 $2$；
② $x + \frac{2×3}{x} = 2 + 3$，解得 $x = 2$ 或 $3$；
③ $x + \frac{3×4}{x} = 3 + 4$，解得 $x = 3$ 或 $4$.
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
(1)请写出第四个方程为；
(2)若 $n$ 为正整数，则第 $n$ 个方程是，其解为.
【探究】(3)若 $n$ 为正整数，关于 $x$ 的方程 $x + \frac{n^{2}+n}{x + 2} = 2n - 1$ 的一个解是 $x = 10$，求 $n$ 的值.

解：
(1) $x + \frac{20}{x} = 9$
(2) 第$n$个方程是$x + \frac{n(n+1)}{x} = 2n+1$，其解为$x=n$或$x=n+1$
(3) 原方程变形为：
$(x+2) - 2 + \frac{n(n+1)}{x+2} = 2n - 1$
移项得：$(x+2) + \frac{n(n+1)}{x+2} = 2n + 1$
设$y=x+2$，则方程化为$y + \frac{n(n+1)}{y} = 2n + 1$
根据规律，此方程的解为$y=n$或$y=n+1$
即$x+2=n$或$x+2=n+1$
解得$x=n-2$或$x=n-1$
已知方程的一个解是$x=10$，分两种情况：
① 当$n-2=10$时，$n=12$；
② 当$n-1=10$时，$n=11$。
经检验，$n=11$和$n=12$均使原方程分母不为0，符合题意。
答：$n$的值为11或12。