6. 7 张如图 1 所示的长为 $a$、宽为 $b(a ＞ b)$ 的小长方形纸片，按图 2 的方式不重叠地放在长方形 $ABCD$ 内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 $S$，当 $BC$ 的长度变化时，按照同样的放置方式，$S$ 始终保持不变，则 $a$，$b$ 满足()

A.$a = \dfrac{5}{2}b$
B.$a = 3b$
C.$a = \dfrac{7}{2}b$
D.$a = 4b$

D

设BC的长度为x。
1. 左上角阴影面积：$ S_1 = a(x - 3b) $
2. 右下角阴影面积：$ S_2 = 4b(x - a) $
3. 计算面积差：$ S = S_1 - S_2 = a(x - 3b) - 4b(x - a) $，展开化简得 $ S = (a - 4b)x + ab $。
4. 由于BC长度变化时S始终不变，即S与x无关，故x的系数为0，即 $ a - 4b = 0 $，解得 $ a = 4b $。

7. 已知 $a + b = 3$，$ab = 1$，求：
(1) $a^2 + b^2$。
(2) $(a - b)^2$。

解：
(1) $\because (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$\therefore a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a + b = 3$，$ab = 1$代入，得：
$a^2 + b^2 = 3^2 - 2×1 = 9 - 2 = 7$
(2) $(a - b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
将$a + b = 3$，$ab = 1$代入，得：
$(a - b)^2 = 3^2 - 4×1 = 9 - 4 = 5$

8. 两类正方形 $A$，$B$，其边长分别为 $a$，$b(a ＞ b)$。现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得图 1，将 $A$，$B$ 并列放置后构造新的正方形得图 2。若图 1 和图 2 中阴影部分的面积分别为 1 和 12。
(1) 正方形 $A$，$B$ 的面积之和为。
(2) 小明想要拼一个两边长分别为 $(2a + b)$ 和 $(a + 3b)$ 的长方形(不重不漏)，除用去若干个正方形 $A$，$B$ 外，还需要以 $a$，$b$ 为边的长方形个。
(3) 三个正方形 $A$ 和两个正方形 $B$ 如图 3 所示摆放，求阴影部分的面积。

(1) $\boldsymbol{13}$
(2) $\boldsymbol{7}$
(3) $\boldsymbol{29}$

(1) 由图1阴影面积得：$(a - b)^2 = 1$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 1$；
由图2阴影面积得：$(a + b)^2 - a^2 - b^2 = 12$，展开化简得$2ab = 12$；
因此正方形A、B的面积之和为$a^2 + b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab = 1 + 12 = 13$。
(2) 计算长方形面积：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + 3b)&=2a(a+3b)+b(a+3b)\\&=2a^2 + 6ab + ab + 3b^2\\&=2a^2 + 7ab + 3b^2\end{aligned}$
其中$a^2$对应正方形A，$b^2$对应正方形B，剩余部分为$7ab$，即需要7个以$a,b$为边的长方形。
(3) 由(1)得$a - b = 1$，$a + b = \sqrt{(a - b)^2 + 4ab} = \sqrt{1 + 24} = 5$，解得$a=3$，$b=2$。
图3中，大正方形边长为$2a + b$，面积为$(2a + b)^2$，阴影部分面积为大正方形面积减去3个A和2个B的面积：
$\begin{aligned}&(2a + b)^2 - 3a^2 - 2b^2\\=&4a^2 + 4ab + b^2 - 3a^2 - 2b^2\\=&a^2 + 4ab - b^2\end{aligned}$
代入$a=3$，$b=2$，得$3^2 + 4×3×2 - 2^2 = 9 + 24 - 4 = 29$。