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1. 填空：
(1) $(-1 - 2a)(2a - 1) =$。
(2) $(\dfrac{1}{2}a + 3b)^2 =$。
(1) $(-1 - 2a)(2a - 1) =$。
(2) $(\dfrac{1}{2}a + 3b)^2 =$。
答案
(1) $1 - 4a^2$；(2) $\frac{1}{4}a^2 + 3ab + 9b^2$
解析
(1) 先将原式变形为平方差公式的结构：$(-1 - 2a)(2a - 1)=(-1 - 2a)(-1 + 2a)$，再根据平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$计算，得$(-1)^2-(2a)^2=1-4a^2$；
(2) 根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将$\frac{1}{2}a$看作$x$，$3b$看作$y$展开计算，得$(\frac{1}{2}a)^2+2×\frac{1}{2}a×3b+(3b)^2=\frac{1}{4}a^2+3ab+9b^2$。
(2) 根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将$\frac{1}{2}a$看作$x$，$3b$看作$y$展开计算，得$(\frac{1}{2}a)^2+2×\frac{1}{2}a×3b+(3b)^2=\frac{1}{4}a^2+3ab+9b^2$。
2. 若 $(x - 2y)^2 = (x + 2y)^2 + A$，则 $A$ 等于()
A.$4xy$
B.$-4xy$
C.$8xy$
D.$-8xy$
A.$4xy$
B.$-4xy$
C.$8xy$
D.$-8xy$
答案
D
解析
根据完全平方公式展开等式两边：
$(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$，
$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$。
将等式变形为$A=(x-2y)^2 - (x+2y)^2$，代入展开式：
$A=(x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2)$
去括号并合并同类项：
$A=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 - 4xy - 4y^2 = -8xy$。
$(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$，
$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$。
将等式变形为$A=(x-2y)^2 - (x+2y)^2$，代入展开式：
$A=(x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2)$
去括号并合并同类项：
$A=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 - 4xy - 4y^2 = -8xy$。
3. 化简：
(1) $2a(a - b) - (a - b)^2$。
(2) $(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)(2x - 3)$。
(1) $2a(a - b) - (a - b)^2$。
(2) $(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)(2x - 3)$。
答案
解：
(1) $2a(a - b) - (a - b)^2$
$= 2a^2 - 2ab - (a^2 - 2ab + b^2)$
$= 2a^2 - 2ab - a^2 + 2ab - b^2$
$= a^2 - b^2$
(2) $(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)(2x - 3)$
$= (4x^2 - 9) - (2x^2 - 3x - 4x + 6)$
$= 4x^2 - 9 - 2x^2 + 7x - 6$
$= 2x^2 + 7x - 15$
(1) $2a(a - b) - (a - b)^2$
$= 2a^2 - 2ab - (a^2 - 2ab + b^2)$
$= 2a^2 - 2ab - a^2 + 2ab - b^2$
$= a^2 - b^2$
(2) $(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)(2x - 3)$
$= (4x^2 - 9) - (2x^2 - 3x - 4x + 6)$
$= 4x^2 - 9 - 2x^2 + 7x - 6$
$= 2x^2 + 7x - 15$
4. 先化简，再求值：$2(x + 4)^2 - (x + 5)^2 - (x + 3)(x - 3)$，其中 $x = -2$。
答案
解：
原式=2(x²+8x+16)-(x²+10x+25)-(x²-9)
=2x²+16x+32 -x²-10x-25 -x²+9
=(2x² -x² -x²)+(16x -10x)+(32-25+9)
=6x+16
当x=-2时，
原式=6×(-2)+16
=-12+16
=4
原式=2(x²+8x+16)-(x²+10x+25)-(x²-9)
=2x²+16x+32 -x²-10x-25 -x²+9
=(2x² -x² -x²)+(16x -10x)+(32-25+9)
=6x+16
当x=-2时，
原式=6×(-2)+16
=-12+16
=4
5. 将一张边长为 $a\mathrm{cm}$ 的正方形纸板的四角各剪去一个边长为 $b\mathrm{cm}$ 的小正方形（如图所示），然后把它折成一个无盖的纸盒，求该纸盒的体积（结果要求用关于 $a$，$b$ 的多项式表示）。
答案
解：
折成的无盖纸盒的长、宽均为$(a - 2b)\mathrm{cm}$，高为$b\mathrm{cm}$，
纸盒的体积为：
$\begin{aligned}b(a - 2b)^2&=b(a^2 - 4ab + 4b^2)\\&=a^2b - 4ab^2 + 4b^3\end{aligned}$
答：该纸盒的体积为$(a^2b - 4ab^2 + 4b^3)\mathrm{cm}^3$。
折成的无盖纸盒的长、宽均为$(a - 2b)\mathrm{cm}$，高为$b\mathrm{cm}$，
纸盒的体积为：
$\begin{aligned}b(a - 2b)^2&=b(a^2 - 4ab + 4b^2)\\&=a^2b - 4ab^2 + 4b^3\end{aligned}$
答：该纸盒的体积为$(a^2b - 4ab^2 + 4b^3)\mathrm{cm}^3$。
