【例3】求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行。

（1）画图：作直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，作∠AGE的平分线GM，∠CHG的平分线HN。
（2）已知：AB//CD，EF分别交AB、CD于G、H，GM平分∠AGE，HN平分∠CHG。
求证：GM//HN。
（3）证明：
∵AB//CD（已知），
∴∠AGE=∠CHG（两直线平行，同位角相等）。
∵GM平分∠AGE，HN平分∠CHG（已知），
∴∠AGM=1/2∠AGE，∠CHN=1/2∠CHG（角平分线定义）。
∴∠AGM=∠CHN（等量代换）。
∴GM//HN（同位角相等，两直线平行）。

【变式2】如图，$∠ ACD$是$∠ ACB$的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题。①$CE// AB$；②$∠ A = ∠ B$；③$CE$平分$∠ ACD$。
（1）由上述条件写出一个真命题，并按“$\otimes\otimes⇒\otimes$”的形式写出来；
（2）请证明（1）中的真命题。

（1）①②⇒③
（2）证明：
∵ CE//AB（已知），
∴ ∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），
∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠A=∠B（已知），
∴ ∠ACE=∠ECD（等量代换）。
∴ CE平分∠ACD（角平分线的定义）。

1. 下列命题中，是假命题的是()。

A.对顶角相等
B.两点之间线段最短
C.同角的余角相等
D.内错角相等

D

对顶角相等是基本的几何性质，为真命题；两点之间线段最短是基本的几何公理，为真命题；同角的余角相等，即如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等，为真命题；内错角相等只有在两直线平行的情况下才成立，否则内错角不一定相等，因此“内错角相等”这一命题没有说明两直线平行的前提条件，为假命题。

2. 下列命题中，是真命题的是()。

A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B.平行于同一条直线的两条直线互相垂直
C.若$a$不是负数，则$a$一定大于$0$
D.同角的补角相等

D

选项A中，只有当两条直线平行时被第三条直线所截，同位角才相等，所以A是假命题。
选项B中，平行于同一条直线的两条直线应互相平行，而非垂直，所以B是假命题。
选项C中，若$a$不是负数，则$a$可能大于$0$或等于$0$，所以C是假命题。
选项D中，根据补角的定义，两个角如果互为补角，那么它们的度数和为$180°$。因此，同一个角的补角必然相等，所以D是真命题。

3. 证明“若$\vert a\vert ＞ 1$，则$a ＞ 1$”是假命题的反例可以是$a =$(写一个即可)。

-2

要证明“若|a|＞1，则a＞1”是假命题，只需找到一个a，使得|a|＞1成立，但a＞1不成立。当a=-2时，|a|=2＞1，而a=-2＜1，满足条件。

4. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断命题的真假，是假命题的举出反例。
（1）等角的补角相等；
（2）两个锐角互余。

（1）如果两个角分别是等角的补角，那么这两个角相等。
真命题。
设$∠ A = ∠ B$，$∠ C$是$∠ A$的补角，$∠ D$是$∠ B$的补角，
根据补角定义：$∠ C = 180^{\circ}-∠ A$，$∠ D = 180^{\circ}-∠ B$，
因为$∠ A = ∠ B$，所以$180^{\circ}-∠ A = 180^{\circ}-∠ B$，即$∠ C = ∠ D$。
（2）如果两个角是锐角，那么这两个角互余。
假命题。
反例：设$∠ α = 30^{\circ}$，$∠ β = 40^{\circ}$，$∠ α$和$∠ β$都是锐角，但$∠ α + ∠ β = 30^{\circ}+40^{\circ}=70^{\circ}≠ 90^{\circ}$，所以不互余。