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5. 如图，已知$BC$交$DE$于点$O$，给出下面三个论断：①$∠ B = ∠ E$；②$AB// DE$；③$BC// EF$。请以其中两个论断为条件，填入“题设”中，以一个论断为结论，填入“结论”中，使之成为一个正确的命题，并加以证明。
题设：如图，已知$BC$交$DE$于$O$，(填序号)。
结论：那么(填序号)。
题设：如图，已知$BC$交$DE$于$O$，(填序号)。
结论：那么(填序号)。
答案
题设：①②
结论：③
证明：∵AB//DE（已知）
∴∠B=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠E（已知）
∴∠DOC=∠E（等量代换）
∴BC//EF（同位角相等，两直线平行）
题设：①③
结论：②
证明：∵BC//EF（已知）
∴∠E=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠E（已知）
∴∠B=∠DOC（等量代换）
∴AB//DE（同位角相等，两直线平行）
题设：②③
结论：①
证明：∵AB//DE（已知）
∴∠B=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∵BC//EF（已知）
∴∠E=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∴∠B=∠E（等量代换）
结论：③
证明：∵AB//DE（已知）
∴∠B=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠E（已知）
∴∠DOC=∠E（等量代换）
∴BC//EF（同位角相等，两直线平行）
题设：①③
结论：②
证明：∵BC//EF（已知）
∴∠E=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠E（已知）
∴∠B=∠DOC（等量代换）
∴AB//DE（同位角相等，两直线平行）
题设：②③
结论：①
证明：∵AB//DE（已知）
∴∠B=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∵BC//EF（已知）
∴∠E=∠DOC（两直线平行，同位角相等）
∴∠B=∠E（等量代换）
知识点1 定义
1. 下列叙述中，属于定义的是()。
A.两点确定一条直线
B.两直线平行，内错角相等
C.两点间的距离是指连接两点的线段的长度
D.等角的余角相等
1. 下列叙述中，属于定义的是()。
A.两点确定一条直线
B.两直线平行，内错角相等
C.两点间的距离是指连接两点的线段的长度
D.等角的余角相等
答案
C
解析
定义是明确一个概念或术语的含义的语句，通常具有“是指”，“是叫做”等关键词，根据定义的特点，逐一分析选项：
A. “两点确定一条直线”这是一个命题，描述了一个几何性质，不是对某个概念或术语的定义，所以A选项错误；
B. “两直线平行，内错角相等”这同样是一个命题，描述了平行线的一个性质，不是定义，所以B选项错误；
C. “两点间的距离是指连接两点的线段的长度”这句话明确描述了“两点间的距离”这个概念的含义，符合定义的特点，所以C选项正确；
D. “等角的余角相等”这是一个命题，描述了等角和余角之间的关系，不是定义，所以D选项错误。
A. “两点确定一条直线”这是一个命题，描述了一个几何性质，不是对某个概念或术语的定义，所以A选项错误；
B. “两直线平行，内错角相等”这同样是一个命题，描述了平行线的一个性质，不是定义，所以B选项错误；
C. “两点间的距离是指连接两点的线段的长度”这句话明确描述了“两点间的距离”这个概念的含义，符合定义的特点，所以C选项正确；
D. “等角的余角相等”这是一个命题，描述了等角和余角之间的关系，不是定义，所以D选项错误。
2. 下列语句中不属于定义的是()。
A.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
B.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离
C.两直线平行，同旁内角互补
D.含有未知数的等式叫作方程
A.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
B.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离
C.两直线平行，同旁内角互补
D.含有未知数的等式叫作方程
答案
C
解析
定义是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定。A、B、D分别对平行线、点到直线的距离、方程作出了定义；C是平行线的性质定理，不属于定义。
知识点2 命题及分类
3. 下列句子中不是命题的是()。
A.两直线平行，同位角相等
B.直线$AB$垂直于$CD$吗
C.如果$\vert a\vert = \vert b\vert$，那么$a^{2} = b^{2}$
D.同角的补角相等
3. 下列句子中不是命题的是()。
A.两直线平行，同位角相等
B.直线$AB$垂直于$CD$吗
C.如果$\vert a\vert = \vert b\vert$，那么$a^{2} = b^{2}$
D.同角的补角相等
答案
B
解析
命题是对事情作出判断的语句，而疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题。
选项A：两直线平行，同位角相等，是对两直线平行时同位角关系作出判断的语句，是命题。
选项B：直线$AB$垂直于$CD$吗，这是一个疑问句，不是对事情作出判断的语句，所以不是命题。
选项C：如果$\vert a\vert = \vert b\vert$，那么$a^{2} = b^{2}$，是对满足$\vert a\vert = \vert b\vert$条件时$a^{2}$与$b^{2}$关系作出判断的语句，是命题。
选项D：同角的补角相等，是对同角的补角关系作出判断的语句，是命题。
选项A：两直线平行，同位角相等，是对两直线平行时同位角关系作出判断的语句，是命题。
选项B：直线$AB$垂直于$CD$吗，这是一个疑问句，不是对事情作出判断的语句，所以不是命题。
选项C：如果$\vert a\vert = \vert b\vert$，那么$a^{2} = b^{2}$，是对满足$\vert a\vert = \vert b\vert$条件时$a^{2}$与$b^{2}$关系作出判断的语句，是命题。
选项D：同角的补角相等，是对同角的补角关系作出判断的语句，是命题。
4. 下列命题中，是真命题的是()。
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离
D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离
D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
答案
D
解析
选项A，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，若不在同一平面内，则不一定平行，所以该选项错误；
选项B，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，若不在同一平面内，则不一定只有一条，所以该选项错误；
选项C，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，而不是垂线段，所以该选项错误；
选项D，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，所以该选项正确。
选项B，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，若不在同一平面内，则不一定只有一条，所以该选项错误；
选项C，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，而不是垂线段，所以该选项错误；
选项D，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，所以该选项正确。
5. 下列命题中，属于假命题的是()。
A.两点确定一条直线
B.负数的偶次幂是正数
C.锐角的补角是钝角
D.若$\vert - x\vert = - x$，则$x$的值为$0$
A.两点确定一条直线
B.负数的偶次幂是正数
C.锐角的补角是钝角
D.若$\vert - x\vert = - x$，则$x$的值为$0$
答案
D
解析
对于选项D，根据绝对值性质，若$\vert -x\vert = -x$，则$-x≥0$，即$x≤0$，而该选项说$x$的值仅为$0$，存在错误。
对于选项A，根据直线公理，两点确定一条直线，该选项正确。
对于选项B，负数的偶次幂结果为正数，该选项正确。
对于选项C，锐角是小于$90^{\circ}$的角，其补角为大于$90^{\circ}$小于$180^{\circ}$的角，是钝角，该选项正确。
对于选项A，根据直线公理，两点确定一条直线，该选项正确。
对于选项B，负数的偶次幂结果为正数，该选项正确。
对于选项C，锐角是小于$90^{\circ}$的角，其补角为大于$90^{\circ}$小于$180^{\circ}$的角，是钝角，该选项正确。
6. 命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是，结论是。
答案
两条直线平行于同一条直线；这两条直线平行
解析
将命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行。所以题设是“两条直线平行于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”。
知识点3 证明
7. 下列描述中，是定理的是()。
A.过点$A$作直线$AF// BC$
B.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C.邻补角互补
D.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
7. 下列描述中，是定理的是()。
A.过点$A$作直线$AF// BC$
B.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C.邻补角互补
D.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
答案
C
解析
A选项是描述一个作图过程，不是命题，所以也不是定理；
B选项是平行线的定义，它是基本的概念描述，不是通过证明得到的定理；
C选项“邻补角互补”，它是经过证明为真命题的陈述，符合定理的定义；
D选项“垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”这个说法是错误的，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
所以是定理的只有C选项。
B选项是平行线的定义，它是基本的概念描述，不是通过证明得到的定理；
C选项“邻补角互补”，它是经过证明为真命题的陈述，符合定理的定义；
D选项“垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”这个说法是错误的，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
所以是定理的只有C选项。
8. 如图，$∠ 1 = 58^{\circ}$，$∠ 2 = 122^{\circ}$，求证：$a// b$。
答案
证明：
记∠1的对顶角为∠3，
则∠3=∠1=58°（对顶角相等）。
∵∠2=122°，
∴∠2+∠3=122°+58°=180°。
∴a//b（同旁内角互补，两直线平行）。
记∠1的对顶角为∠3，
则∠3=∠1=58°（对顶角相等）。
∵∠2=122°，
∴∠2+∠3=122°+58°=180°。
∴a//b（同旁内角互补，两直线平行）。
