7.3 定义、命题、定理
课前预习
1. 定义
我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义。
2. 命题、真命题、假命题
命题：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的，叫作命题。被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题。命题由和两部分组成。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是。
方法技巧：①命题一般是陈述句，其他如疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题；②命题必须是一个完整的句子，是对事物作出肯定或否定的判断。
3. 定理、证明
定理：经过的真命题叫作定理。
证明：一个命题的正确性需要经过才能作出判断，这个叫作证明。
课堂探究
探究点1 命题及分类

1. 命题：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述句，叫作命题。命题由题设和结论两部分组成。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
2. 定理：经过推理证实的真命题叫作定理。
3. 证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。
故答案依次为：陈述句；题设；结论；题设；结论；推理证实；推理；推理过程。

【例1】下列各语句中，哪些是命题？哪些不是命题？
①同号两数的和一定不是负数；
②若$x = 2$，则$1 - 5x = 0$；
③延长线段$AB$至点$C$，使$B$是$AC$的中点；
④互为倒数的两个数的积为$1$。

①是命题。因为它是对同号两数和的性质做出的判断，有明确的真值（真）。
②是命题。对当$x = 2$时$1 - 5x$的值做出了判断，有明确的真值（假）。
③不是命题。“延长线段$AB$至点$C$，使$B$是$AC$的中点”是一个操作指令，不是对事物情况进行判断的陈述句。
④是命题。对互为倒数的两个数积的情况做出了判断，有明确的真值（真）。
综上，①②④是命题，③不是命题。

【例2】指出下列命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例。
（1）邻补角是互补的角；
（2）同位角相等。

（1）
命题：“邻补角是互补的角。”
题设：两个角是邻补角。
结论：这两个角互补。
判断：真命题。
（2）
命题：“同位角相等。”
题设：两个角是同位角。
结论：这两个角相等。
判断：假命题。
反例：当两条不平行的直线被第三条直线所截时，同位角并不相等。

【变式1】判断下列语句是不是命题，如果是命题，判断命题的真假，如果是假命题请举出反例。
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）过直线外一点作直线$l$的平行线；
（3）如果$a ＞ b$，$a ＞ c$，那么$b = c$。

（1）该语句是命题。
判断真假：真命题。
（2）该语句不是命题。因为它不是对一件事情作出判断的陈述句，而是一个操作指令。
（3）该语句是命题。
判断真假：假命题。
反例：当$a = 2$，$b = 1$，$c = 0$时，满足$a＞b$，$a ＞ c$，但$b≠ c$。