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1. 观察图中的立体图形：
(1)分别在横线上写出它们的名称；
(2)请将以上几何图形分类,并说明理由.
(1)分别在横线上写出它们的名称；
(2)请将以上几何图形分类,并说明理由.
答案
解:
(1)球 六棱柱 圆锥 正方体 三棱柱 圆柱 四棱锥 长方体
(2)分类:①球体:球. ②柱体:六棱柱、正方体、三棱柱、长方体、圆柱. ③锥体:圆锥、四棱锥.
(1)球 六棱柱 圆锥 正方体 三棱柱 圆柱 四棱锥 长方体
(2)分类:①球体:球. ②柱体:六棱柱、正方体、三棱柱、长方体、圆柱. ③锥体:圆锥、四棱锥.
解析
【分析】
本题分为两个小问，第一问考查常见立体图形的识别，解题时先回忆各类立体图形的典型特征，再逐个匹配图形即可；第二问考查立体图形的分类，通常选择“柱体、锥体、球体”作为统一分类标准，明确三类图形的结构特点后，将所有图形对应归类即可，注意分类时要做到不重复、不遗漏。
【解析】
(1) 结合各类立体图形的特征逐个识别：
第一个是完全由曲面围成的圆形几何体，为球；
第二个上下底面是六边形、侧面为长方形，属于六棱柱；
第三个底面是圆形、顶部有1个顶点，为圆锥；
第四个六个面都是正方形的四棱柱，为正方体；
第五个上下底面是三角形、侧面为长方形，属于三棱柱；
第六个上下底面是圆形、侧面为曲面，为圆柱；
第七个底面是四边形、侧面为三角形、顶部有1个公共顶点，属于四棱锥；
第八个六个面都是长方形的四棱柱，为长方体。
(2) 按照“柱体、锥体、球体”的标准分类：
① 球体：仅球，特征为由单一曲面围成，无棱和顶点；
② 柱体：包含棱柱和圆柱，特征是有两个互相平行、大小形状完全相同的底面，因此六棱柱、正方体、三棱柱、长方体（均属于棱柱）和圆柱都归为柱体；
③ 锥体：包含棱锥和圆锥，特征是只有1个底面，另一端有1个公共顶点，因此圆锥、四棱锥归为锥体。
【答案】
(1) 球、六棱柱、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱、四棱锥、长方体
(2) 分类：①球体：球；②柱体：六棱柱、正方体、三棱柱、长方体、圆柱；③锥体：圆锥、四棱锥。理由：根据立体图形的结构特征，将其分为柱、锥、球三类，柱体包括棱柱和圆柱，锥体包括棱锥和圆锥，球单独为一类。
【知识点】
立体图形识别；立体图形分类；几何体结构特征
【点评】
本题是立体图形的基础题型，核心考查对常见立体图形特征的掌握程度，只要熟记各类几何体的外形特点，确定统一的分类标准，就能顺利解题，能够有效锻炼基础的空间认知能力。
【难度系数】
0.9
本题分为两个小问，第一问考查常见立体图形的识别，解题时先回忆各类立体图形的典型特征，再逐个匹配图形即可；第二问考查立体图形的分类，通常选择“柱体、锥体、球体”作为统一分类标准，明确三类图形的结构特点后，将所有图形对应归类即可，注意分类时要做到不重复、不遗漏。
【解析】
(1) 结合各类立体图形的特征逐个识别：
第一个是完全由曲面围成的圆形几何体，为球；
第二个上下底面是六边形、侧面为长方形，属于六棱柱；
第三个底面是圆形、顶部有1个顶点，为圆锥；
第四个六个面都是正方形的四棱柱，为正方体；
第五个上下底面是三角形、侧面为长方形，属于三棱柱；
第六个上下底面是圆形、侧面为曲面，为圆柱；
第七个底面是四边形、侧面为三角形、顶部有1个公共顶点，属于四棱锥；
第八个六个面都是长方形的四棱柱，为长方体。
(2) 按照“柱体、锥体、球体”的标准分类：
① 球体：仅球，特征为由单一曲面围成，无棱和顶点；
② 柱体：包含棱柱和圆柱，特征是有两个互相平行、大小形状完全相同的底面，因此六棱柱、正方体、三棱柱、长方体（均属于棱柱）和圆柱都归为柱体；
③ 锥体：包含棱锥和圆锥，特征是只有1个底面，另一端有1个公共顶点，因此圆锥、四棱锥归为锥体。
【答案】
(1) 球、六棱柱、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱、四棱锥、长方体
(2) 分类：①球体：球；②柱体：六棱柱、正方体、三棱柱、长方体、圆柱；③锥体：圆锥、四棱锥。理由：根据立体图形的结构特征，将其分为柱、锥、球三类，柱体包括棱柱和圆柱，锥体包括棱锥和圆锥，球单独为一类。
【知识点】
立体图形识别；立体图形分类；几何体结构特征
【点评】
本题是立体图形的基础题型，核心考查对常见立体图形特征的掌握程度，只要熟记各类几何体的外形特点，确定统一的分类标准，就能顺利解题，能够有效锻炼基础的空间认知能力。
【难度系数】
0.9
2. 两个无盖(朝上的面)的长方体纸盒如图所示. 小长方体的长、宽、高分别为 $a$ cm,$b$ cm,$c$ cm；大长方体的长、宽、高分别为 $1.5a$ cm,$2b$ cm,$2c$ cm.
(1)做这两个纸盒共需要多少平方厘米材料？
(2)做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多用多少平方厘米材料？
(1)做这两个纸盒共需要多少平方厘米材料？
(2)做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多用多少平方厘米材料？
答案
解:
(1)小长方体的表面积为$(ab+ac+bc)×2-ab=(ab+2ac+2bc)(cm^2)$, 大长方体的表面积为$(3ab+3ac+4bc)×2-1.5a×2b=(3ab+6ac+8bc)(cm^2)$. $(ab+2ac+2bc)+(3ab+6ac+8bc)=(4ab+8ac+10bc)(cm^2)$. 答:做这两个纸盒共需要材料$(4ab+8ac+10bc)cm^2$.
(2)$(3ab+6ac+8bc)-(ab+2ac+2bc)=(2ab+4ac+6bc)(cm^2)$. 答:做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多用$(2ab+4ac+6bc)cm^2$材料.
(1)小长方体的表面积为$(ab+ac+bc)×2-ab=(ab+2ac+2bc)(cm^2)$, 大长方体的表面积为$(3ab+3ac+4bc)×2-1.5a×2b=(3ab+6ac+8bc)(cm^2)$. $(ab+2ac+2bc)+(3ab+6ac+8bc)=(4ab+8ac+10bc)(cm^2)$. 答:做这两个纸盒共需要材料$(4ab+8ac+10bc)cm^2$.
(2)$(3ab+6ac+8bc)-(ab+2ac+2bc)=(2ab+4ac+6bc)(cm^2)$. 答:做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多用$(2ab+4ac+6bc)cm^2$材料.
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先明确无盖长方体纸盒的用料对应其5个面的表面积，需去掉顶面（长×宽的面）的面积。解题步骤：①分别计算小、大无盖长方体的表面积；②第一问将两个表面积相加，合并同类项得到总用料；③第二问用大纸盒表面积减去小纸盒表面积，合并同类项得到多用的材料面积。
【解析】
(1) 先计算小无盖长方体的表面积：
完整长方体表面积为$2(ab+ac+bc)$，去掉顶面$ab$，因此小纸盒表面积为：
$2(ab+ac+bc)-ab=ab+2ac+2bc\ (\mathrm{cm}^2)$
再计算大无盖长方体的表面积：
大长方体长宽高为$1.5a$、$2b$、$2c$，完整表面积为$2(1.5a·2b +1.5a·2c +2b·2c)=2(3ab+3ac+4bc)$，去掉顶面$1.5a·2b=3ab$，因此大纸盒表面积为：
$2(3ab+3ac+4bc)-3ab=3ab+6ac+8bc\ (\mathrm{cm}^2)$
两个纸盒总用料为两者相加：
$(ab+2ac+2bc)+(3ab+6ac+8bc)=4ab+8ac+10bc\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 大纸盒比小纸盒多用的材料为两者表面积相减：
$(3ab+6ac+8bc)-(ab+2ac+2bc)=2ab+4ac+6bc\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 做这两个纸盒共需要$(4ab+8ac+10bc)\mathrm{cm}^2$材料；
(2) 做一个大纸盒比做一个小纸盒多用$(2ab+4ac+6bc)\mathrm{cm}^2$材料。
【知识点】
长方体表面积计算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题结合生活中无盖容器的用料问题，考查几何体表面积计算和整式运算，解题的关键是注意无盖几何体要少算一个顶面的面积，运算时需正确合并同类项，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这两个问题，首先明确无盖长方体纸盒的用料对应其5个面的表面积，需去掉顶面（长×宽的面）的面积。解题步骤：①分别计算小、大无盖长方体的表面积；②第一问将两个表面积相加，合并同类项得到总用料；③第二问用大纸盒表面积减去小纸盒表面积，合并同类项得到多用的材料面积。
【解析】
(1) 先计算小无盖长方体的表面积：
完整长方体表面积为$2(ab+ac+bc)$，去掉顶面$ab$，因此小纸盒表面积为：
$2(ab+ac+bc)-ab=ab+2ac+2bc\ (\mathrm{cm}^2)$
再计算大无盖长方体的表面积：
大长方体长宽高为$1.5a$、$2b$、$2c$，完整表面积为$2(1.5a·2b +1.5a·2c +2b·2c)=2(3ab+3ac+4bc)$，去掉顶面$1.5a·2b=3ab$，因此大纸盒表面积为：
$2(3ab+3ac+4bc)-3ab=3ab+6ac+8bc\ (\mathrm{cm}^2)$
两个纸盒总用料为两者相加：
$(ab+2ac+2bc)+(3ab+6ac+8bc)=4ab+8ac+10bc\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 大纸盒比小纸盒多用的材料为两者表面积相减：
$(3ab+6ac+8bc)-(ab+2ac+2bc)=2ab+4ac+6bc\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 做这两个纸盒共需要$(4ab+8ac+10bc)\mathrm{cm}^2$材料；
(2) 做一个大纸盒比做一个小纸盒多用$(2ab+4ac+6bc)\mathrm{cm}^2$材料。
【知识点】
长方体表面积计算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题结合生活中无盖容器的用料问题，考查几何体表面积计算和整式运算，解题的关键是注意无盖几何体要少算一个顶面的面积，运算时需正确合并同类项，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示,一个正方体方块上面留有一个圆柱形孔洞,不可能堵上这个孔洞的几何体是( )
A.球
B.圆柱
C.圆锥
D.长方体
A.球
B.圆柱
C.圆锥
D.长方体
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确孔洞为圆柱形，它的横截面是圆形，要堵住该孔洞，所用几何体必须存在能和孔洞适配的圆形截面。接下来我们逐个分析每个选项中几何体的截面特征，判断是否存在圆形截面即可得出答案。
【解析】
已知孔洞为圆柱形，其横截面为圆形，堵上孔洞需要几何体存在大小适配的圆形截面：
A. 球的任意截面都是圆形，调整球的大小即可适配孔洞，可堵上孔洞；
B. 圆柱垂直于底面的截面为圆形，大小合适的圆柱可用该圆形截面堵住孔洞；
C. 圆锥垂直于高的截面是大小不等的圆形，总能找到和孔洞大小匹配的截面，可堵上孔洞；
D. 长方体的所有截面都是多边形（如长方形、正方形、三角形等），不可能出现圆形截面，无法堵住圆柱形孔洞。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
几何体的截面；常见立体图形特征
【点评】
本题围绕常见立体图形的截面性质设置，解题的核心是抓住堵圆柱形孔洞需要对应几何体有圆形截面这一关键，需要学生熟练掌握各类常见立体图形的基本特征。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确孔洞为圆柱形，它的横截面是圆形，要堵住该孔洞，所用几何体必须存在能和孔洞适配的圆形截面。接下来我们逐个分析每个选项中几何体的截面特征，判断是否存在圆形截面即可得出答案。
【解析】
已知孔洞为圆柱形，其横截面为圆形，堵上孔洞需要几何体存在大小适配的圆形截面：
A. 球的任意截面都是圆形，调整球的大小即可适配孔洞，可堵上孔洞；
B. 圆柱垂直于底面的截面为圆形，大小合适的圆柱可用该圆形截面堵住孔洞；
C. 圆锥垂直于高的截面是大小不等的圆形，总能找到和孔洞大小匹配的截面，可堵上孔洞；
D. 长方体的所有截面都是多边形（如长方形、正方形、三角形等），不可能出现圆形截面，无法堵住圆柱形孔洞。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
几何体的截面；常见立体图形特征
【点评】
本题围绕常见立体图形的截面性质设置，解题的核心是抓住堵圆柱形孔洞需要对应几何体有圆形截面这一关键，需要学生熟练掌握各类常见立体图形的基本特征。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示,往一个密封的正方体容器中持续注入一些水,注水的过程中,可将容器任意放置,水面形状不可能是( )
A.三角形
B.正方形
C.六边形
D.七边形
A.三角形
B.正方形
C.六边形
D.七边形
答案
D
解析
【分析】
解题时可将水面等价为一个平面截正方体得到的截面，截面的边数由平面与正方体相交的面的数量决定：平面每和正方体的1个面相交，就会产生1条边。正方体共有6个面，因此平面最多能和6个面相交，得到的截面最多有6条边，据此即可判断不可能出现的形状。同时可结合常见的截面形状验证其他选项：平面和3个面相交可得三角形，和4个面相交可得正方形，和6个面相交可得六边形。
【解析】
水面的形状本质是平面截正方体得到的截面：
1. 当平面与正方体的3个面相交时，截面为三角形，A选项可能；
2. 当平面与正方体的4个面相交时，截面可以是正方形、长方形等，B选项可能；
3. 当平面与正方体的6个面都相交时，截面为六边形，C选项可能；
正方体仅共有6个面，平面最多和6个面相交，因此截面最多有6条边，不可能出现7条边的七边形，故D选项不可能。
【答案】
D
【知识点】
截正方体，截面判断，立体图形与平面图形
【点评】
本题考查平面截几何体的截面规律，核心是理解截面的边数等于平面与几何体相交的面的数量，结合正方体的面数特征即可快速解题，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时可将水面等价为一个平面截正方体得到的截面，截面的边数由平面与正方体相交的面的数量决定：平面每和正方体的1个面相交，就会产生1条边。正方体共有6个面，因此平面最多能和6个面相交，得到的截面最多有6条边，据此即可判断不可能出现的形状。同时可结合常见的截面形状验证其他选项：平面和3个面相交可得三角形，和4个面相交可得正方形，和6个面相交可得六边形。
【解析】
水面的形状本质是平面截正方体得到的截面：
1. 当平面与正方体的3个面相交时，截面为三角形，A选项可能；
2. 当平面与正方体的4个面相交时，截面可以是正方形、长方形等，B选项可能；
3. 当平面与正方体的6个面都相交时，截面为六边形，C选项可能；
正方体仅共有6个面，平面最多和6个面相交，因此截面最多有6条边，不可能出现7条边的七边形，故D选项不可能。
【答案】
D
【知识点】
截正方体，截面判断，立体图形与平面图形
【点评】
本题考查平面截几何体的截面规律，核心是理解截面的边数等于平面与几何体相交的面的数量，结合正方体的面数特征即可快速解题，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
5. 粮仓是储藏粮食的专用建筑,用于存放大量粮食. 图(1)是某景区建造的粮仓模型,图(2)是从图(1)中抽象出的由圆柱和圆锥构成的立体图形,求该粮仓的体积 $(V_{圆柱} = \pi r^{2}h, V_{圆锥} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h)$.
答案
解:$V=V_{圆柱}+V_{圆锥}$$=\pi×\left(\frac{a}{2}\right)^2× b+\frac{1}{3}\pi×\left(\frac{a}{2}\right)^2×(a-b)$$=\frac{\pi a^2b}{4}+\frac{\pi a^2(a-b)}{12}$$=\frac{3\pi a^2b}{12}+\frac{\pi a^3}{12}-\frac{\pi a^2b}{12}$$=\frac{\pi a^2b}{6}+\frac{\pi a^3}{12}$.
解析
【分析】
要计算该粮仓的体积，首先明确这个立体图形是圆柱和圆锥的组合体，因此总体积等于圆柱体积与圆锥体积之和。第一步先确定两个几何体的参数：从图中可知圆柱和圆锥的底面直径都是a，因此底面半径为$\frac{a}{2}$；圆柱的高是b，圆锥的高等于总高度a减去圆柱的高b，即$a-b$。接下来分别代入圆柱、圆锥的体积公式计算，最后将两部分体积相加、化简即可得到结果。
【解析】
解：粮仓的体积为圆柱体积与圆锥体积之和，即
$\begin{aligned}V&=V_{圆柱}+V_{圆锥}\\&=π×(\frac{a}{2})^2× b+\frac{1}{3}π×(\frac{a}{2})^2×(a-b)\\&=\frac{π a^2b}{4}+\frac{π a^2(a-b)}{12}\\&=\frac{3π a^2b}{12}+\frac{π a^3}{12}-\frac{π a^2b}{12}\\&=\frac{π a^2b}{6}+\frac{π a^3}{12}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{π a^3}{12}+\frac{π a^2b}{6}$
【知识点】
组合体体积计算；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合几何体的体积求解，解题核心是将复杂的组合体拆分为熟悉的规则几何体，准确提取各规则几何体的对应参数后代入公式计算即可，计算过程中要注意通分、合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.8
要计算该粮仓的体积，首先明确这个立体图形是圆柱和圆锥的组合体，因此总体积等于圆柱体积与圆锥体积之和。第一步先确定两个几何体的参数：从图中可知圆柱和圆锥的底面直径都是a，因此底面半径为$\frac{a}{2}$；圆柱的高是b，圆锥的高等于总高度a减去圆柱的高b，即$a-b$。接下来分别代入圆柱、圆锥的体积公式计算，最后将两部分体积相加、化简即可得到结果。
【解析】
解：粮仓的体积为圆柱体积与圆锥体积之和，即
$\begin{aligned}V&=V_{圆柱}+V_{圆锥}\\&=π×(\frac{a}{2})^2× b+\frac{1}{3}π×(\frac{a}{2})^2×(a-b)\\&=\frac{π a^2b}{4}+\frac{π a^2(a-b)}{12}\\&=\frac{3π a^2b}{12}+\frac{π a^3}{12}-\frac{π a^2b}{12}\\&=\frac{π a^2b}{6}+\frac{π a^3}{12}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{π a^3}{12}+\frac{π a^2b}{6}$
【知识点】
组合体体积计算；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合几何体的体积求解，解题核心是将复杂的组合体拆分为熟悉的规则几何体，准确提取各规则几何体的对应参数后代入公式计算即可，计算过程中要注意通分、合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.8
