1. 我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？译文：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱.问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为()

A.160 钱
B.155 钱
C.150 钱
D.145 钱

C

设合伙人数为$x$人，羊价为$y$钱，根据题意可以列出以下二元一次方程组：
$\begin{cases}y = 5x + 45, \\y = 7x + 3.\end{cases}$
将两个方程联立解得：
$5x + 45 = 7x + 3$，
$2x = 42$，
$x = 21$。
将$x = 21$代入$y = 5x + 45$，得：
$y = 5 × 21 + 45 = 150$。
所以，羊价为150钱。

2. 某车间有 35 名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产 12 个螺栓或 18 个螺母.已知 1 个螺栓配 2 个螺母，要使当天生产的螺栓和螺母刚好配套，则应安排生产螺栓的工人人数为()

A.13
B.14
C.15
D.16

C

设应安排$x$名工人生产螺栓，$y$名工人生产螺母。
根据总人数可得$x + y = 35$。
根据螺栓和螺母的配套关系，每人每天平均生产$12$个螺栓或$18$个螺母，$1$个螺栓配$2$个螺母，可得$2×12x = 18y$。
联立可得方程组$\begin{cases}x + y = 35\\2×12x = 18y\end{cases}$，
由$x + y = 35$得$y = 35 - x$，
将其代入$2×12x = 18y$中，得到$24x = 18×(35 - x)$，
$24x = 630 - 18x$，
$24x+18x = 630$，
$42x = 630$，
解得$x = 15$。

3. 已知一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是 9，若交换个位数字与十位数字，得到的新数比原数小 45，则这个两位数是.

设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 9 \\(10x + y) - (10y + x) = 45\end{cases}$
化简第二个方程：
$10x + y - 10y - x = 45 \implies 9x - 9y = 45 \implies x - y = 5$
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 9 \\x - y = 5\end{cases}$
两式相加：$2x = 14 \implies x = 7$
将$x = 7$代入$x + y = 9$，得$7 + y = 9 \implies y = 2$
所以原数为$10x + y = 10×7 + 2 = 72$
72

4. 甲、乙两种商品原来的单价之和为 100 元，因市场变化，甲商品降价 20％，乙商品提价 60％，调价后两种商品的单价的和为 112 元，甲、乙两种商品原来的单价相差元.

设甲商品原来的单价为$x$元，乙商品原来的单价为$y$元。
根据题意，列出以下方程组：
$\begin{cases}x + y = 100, \\(1 - 0.2)x + (1 + 0.6)y = 112.\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x + y = 100, \\0.8x + 1.6y = 112.\end{cases}$
将第一个方程乘以0.8得：
$0.8x + 0.8y = 80$，
用第二个方程减去新得到的方程得：
$0.8y = 32$，
解得：
$y = 40$，
将$y = 40$代入第一个方程得：
$x = 60$，
或
$\begin{cases}x=100-40\\=60\end{cases}$
甲、乙两种商品原来的单价相差：
$|x - y| = |60 - 40| = 20(元)$，
故答案为：20。

5. 学校需要为实验室购买一些酒精灯和漏斗，根据图中信息，回答下列问题：
(1)求酒精灯和漏斗的单价；
(2)若要买 5 盏酒精灯和 20 个漏斗，且商家打八折出售，求所需费用.

(1)设酒精灯单价为$x$元，漏斗单价为$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}2x + 2y = 16 \\ x + 3y = 12\end{cases}$
由第一个方程化简得：$x + y = 8$，即$x = 8 - y$，代入第二个方程：
$8 - y + 3y = 12$，解得$y = 2$，则$x = 8 - 2 = 6$。
答：酒精灯单价6元，漏斗单价2元。
(2)原价：$5×6 + 20×2 = 30 + 40 = 70$（元），
打八折后费用：$70×0.8 = 56$（元）。
答：所需费用56元。

6. 某纸品加工厂制作甲(需要材料为 1 个正方形和 4 个长方形)、乙(需要材料为 2 个正方形和 3 个长方形)两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将 160 张正方形硬纸片和 340 张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？

设可以制作甲种小盒$x$个，乙种小盒$y$个。
根据题意，列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 160, \\4x + 3y = 340.\end{cases}$
由$x + 2y = 160$，得$x = 160 - 2y$，
将$x = 160 - 2y$代入$4x + 3y = 340$，得：
$4(160 - 2y) + 3y = 340$，
$640 - 8y + 3y = 340$，
$-5y = -300$，
$y = 60$，
将$y = 60$代入$x = 160 - 2y$，得：
$x = 160 - 2×60$，
$x = 40$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 40, \\y = 60.\end{cases}$
答：可以制作甲种小盒$40$个，乙种小盒$60$个。