1. 计算$(3n)^{3}$，结果是()

A.$9n^{3}$
B.$27n^{3}$
C.$9n$
D.$27n$

1. B

【分析】
这道题考查积的乘方运算，解题时需要回忆积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。首先我们可以把$(3n)^3$拆成3的三次方与n的三次方的乘积，分别计算这两部分的结果，再相乘就能得到最终答案，然后对应选项选出正确结果。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^m = a^m b^m$（$m$为正整数），对$(3n)^3$进行计算：
$\begin{aligned}(3n)^3&=3^3× n^3\\&=27× n^3\\&=27n^3\end{aligned}$
所以结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算
【点评】
本题是积的乘方法则的基础应用题型，难度较低，解题关键是准确牢记积的乘方法则，同时注意正确计算有理数的乘方，避免出现$3^3=9$这类计算错误。
【难度系数】
0.9

2. 下列等式错误的是()

A.$(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$
B.$(-2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$
C.$(2m^{2}n^{2})^{3}=8m^{6}n^{6}$
D.$(-2m^{2}n^{2})^{3}=-8m^{5}n^{5}$

2. D

【分析】
这道题考查积的乘方和幂的乘方的运算规则，解题思路是根据相关运算法则分别计算每个选项的结果，再与选项给出的等式右边对比，找出错误的选项。具体思考步骤如下：
1. 回忆积的乘方法则：$(ab)^n = a^n b^n$，幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$；
2. 对选项A，运用积的乘方法则，把2、m、n分别平方，计算结果后和右边对比；
3. 对选项B，注意负数的平方是正数，同样用积的乘方法则计算；
4. 对选项C，先运用积的乘方，再对每个因式用幂的乘方法则计算；
5. 对选项D，先处理负数的立方，再运用积的乘方和幂的乘方法则，计算后看是否和右边一致，从而找出错误选项。
【解析】
根据积的乘方和幂的乘方运算法则，对各选项逐一计算：
选项A：$(2mn)^2 = 2^2 · m^2 · n^2 = 4m^2n^2$，等式成立；
选项B：$(-2mn)^2 = (-2)^2 · m^2 · n^2 = 4m^2n^2$，等式成立；
选项C：$(2m^2n^2)^3 = 2^3 · (m^2)^3 · (n^2)^3 = 8m^{2×3}n^{2×3} = 8m^6n^6$，等式成立；
选项D：$(-2m^2n^2)^3 = (-2)^3 · (m^2)^3 · (n^2)^3 = -8m^{2×3}n^{2×3} = -8m^6n^6$，与选项右边的$-8m^5n^5$不符，等式不成立。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题主要考查积的乘方与幂的乘方的运算，需要注意符号的处理以及指数运算的正确性，避免出现指数相加而非相乘的错误，熟练掌握运算法则是解题关键。
【难度系数】
0.7

3. 计算$a· a^{5}-(2a^{3})^{2}$，结果为()

A.$a^{6}-2a^{5}$
B.$-a^{6}$
C.$a^{6}-4a^{5}$
D.$-3a^{6}$

3. D

【分析】
要解决这个式子的计算，需分两步分别处理两项，再进行减法运算：首先，第一项是同底数幂相乘，根据同底数幂乘法法则“底数不变，指数相加”计算；第二项是积的乘方运算，根据积的乘方法则“先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，结合幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”计算；最后将两项结果相减，合并同类项得到最终结果。
【解析】
1. 计算同底数幂乘法：
$a·a^{5}=a^{1+5}=a^{6}$
2. 计算积的乘方与幂的乘方：
$(2a^{3})^{2}=2^{2}·(a^{3})^{2}=4a^{3×2}=4a^{6}$
3. 进行减法运算并合并同类项：
$a^{6}-4a^{6}=(1-4)a^{6}=-3a^{6}$
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项
【点评】
本题考查整式的混合运算，重点考查幂的运算规则与合并同类项的方法，属于基础题，运算时需注意指数的计算和系数的运算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8

4. 已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方。在计算下面题目$(a^{2}· a^{3})^{2}=(a^{2})^{2}· (a^{3})^{2}=a^{4}· a^{6}=a^{10}$的过程中，每一步的运算法则分别是()

A.①②③
B.①③②
C.②③①
D.③②①

4. D

【分析】
要解决这道题，需逐一对应计算过程每一步的幂运算规则：首先观察第一步，将$(a^{2}·a^{3})^{2}$转化为$(a^{2})^{2}·(a^{3})^{2}$，这是把积的乘方拆分为每个因式分别乘方，对应积的乘方法则；第二步把$(a^{2})^{2}$和$(a^{3})^{2}$计算为$a^{4}$和$a^{6}$，是幂的乘方运算，底数不变指数相乘，对应幂的乘方法则；第三步将$a^{4}·a^{6}$计算为$a^{10}$，是同底数幂相乘，底数不变指数相加，对应同底数幂的乘法法则。最后将三步法则顺序与选项匹配即可得出答案。
【解析】
1. 第一步：$(a^{2}· a^{3})^{2}=(a^{2})^{2}· (a^{3})^{2}$，运用积的乘方法则（③），即积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
2. 第二步：$(a^{2})^{2}· (a^{3})^{2}=a^{4}· a^{6}$，运用幂的乘方法则（②），即幂的乘方，底数不变，指数相乘；
3. 第三步：$a^{4}· a^{6}=a^{10}$，运用同底数幂的乘法法则（①），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
综上，每一步的运算法则顺序为③②①，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题是对幂的三种基础运算法则的辨析考查，需要准确理解每种法则的定义和适用场景，通过分步拆解计算过程，明确每一步对应的法则，即可快速选出正确答案，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.8

5. 下列各图中，能直观解释“$(3a)^{2}=9a^{2}$”的是()

5. D

【分析】
要直观解释“$(3a)^{2}=9a^{2}$”，需明确等式的几何意义：$(3a)^2$表示边长为$3a$的正方形的面积，$9a^2$表示9个边长为$a$的小正方形的面积和。因此我们需要找到一个边长为$3a$的正方形，且该正方形可分割为9个边长为$a$的小正方形的图形，接下来逐一分析选项：
1. 选项A是长为$3a$、宽为$a$的长方形，面积为$3a·a=3a^2$，与等式无关；
2. 选项B是长为$3a$、宽为3的长方形，面积为$3a·3=9a$，不符合等式；
3. 选项C是长为$3a$、宽为9的长方形，面积为$3a·9=27a$，也不符合；
4. 选项D是边长为$3a$的正方形（横向3个$a$，纵向3个$a$，总边长为$3a$），其面积为$(3a)^2$，同时该正方形可分成9个边长为$a$的小正方形，总面积为$9a^2$，正好对应等式的左右两边，能直观解释该等式。
【解析】
选项A：图形为长$3a$、宽$a$的长方形，面积$S=3a×a=3a^2$，无法解释$(3a)^2=9a^2$；
选项B：图形为长$3a$、宽3的长方形，面积$S=3a×3=9a$，无法解释$(3a)^2=9a^2$；
选项C：图形为长$3a$、宽9的长方形，面积$S=3a×9=27a$，无法解释$(3a)^2=9a^2$；
选项D：图形为边长$3a$的正方形，面积$S=(3a)^2$，同时该正方形可划分为9个边长为$a$的小正方形，总面积$S=9×a^2=9a^2$，因此能直观解释$(3a)^2=9a^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、正方形面积公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的几何直观验证，通过图形面积与代数式的对应关系，帮助理解整式乘法的意义。解题关键是将代数式转化为几何图形的面积，分析图形的边长与面积的关系。
【难度系数】
0.7

6. 计算：（1）（ ）$^{3}=-8a^{6}$。
（2）$36a^{6}=$（ ）$^{2}$。

6. (1) $-2a^{2}$ (2) $\pm 6a^{3}$

【分析】
对于（1），已知幂的结果和指数求底数，需利用积的乘方与幂的乘方的逆运算：先拆分结果中的常数项和字母项，常数部分找立方等于-8的数，字母部分找三次方等于$a^6$的式子，再将两者组合。对于（2），已知平方的结果求底数，要注意正数的平方根有两个，同样拆分常数项和字母项，常数部分找平方等于36的数，字母部分找平方等于$a^6$的式子，再组合并带上正负号。
【解析】
（1）根据积的乘方逆运算$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方逆运算$(a^m)^n=a^{mn}$：
因为$(-2)^3=-8$，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，所以$(-2a^2)^3=(-2)^3×(a^2)^3=-8a^6$，因此括号内填$-2a^2$。
（2）根据平方根的定义和积的乘方逆运算：
因为$(\pm6)^2=36$，$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$，所以$(\pm6a^3)^2=(\pm6)^2×(a^3)^2=36a^6$，因此括号内填$\pm6a^3$。
【答案】
(1) $-2a^{2}$；(2) $\pm 6a^{3}$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方根的定义
【点评】
本题考查幂运算的逆用和平方根的概念，解题关键是牢记幂的运算法则，注意负数的奇次幂符号不变，正数的平方根有两个互为相反数，避免遗漏符号或出错幂的指数计算。
【难度系数】
0.7

7. 已知$a^{m}=2^{2}$，$b^{m}=4$，则$(a^{2}b)^{m}=$。

7. 64

【分析】
首先，我们需要将所求式子$(a^{2}b)^{m}$利用幂的运算法则变形。根据积的乘方法则，可先把$(a^{2}b)^{m}$拆成$(a^{2})^{m} · b^{m}$；再根据幂的乘方法则，将$(a^{2})^{m}$转化为$(a^{m})^{2}$，这样式子就和已知条件建立了联系。最后把$a^{m}=2^{2}=4$，$b^{m}=4$代入计算就能得到结果。
【解析】
1. 根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(a^{2}b)^{m}=(a^{2})^{m} · b^{m}$
2. 根据幂的乘方运算法则：$(a^n)^m=a^{nm}$，可得：
$(a^{2})^{m}=(a^{m})^{2}$
3. 已知$a^{m}=2^{2}=4$，$b^{m}=4$，代入式子计算：
$(a^{m})^{2} · b^{m}=4^{2} × 4=16 × 4=64$
【答案】
64
【知识点】
积的乘方，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合运用，解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，将所求式子转化为已知条件的形式进行计算，属于基础题型，注重对公式的灵活运用。
【难度系数】
0.8

8. 若$(a^{m}b^{n})^{3}=a^{9}b^{6}$，则$m^{2}-2n=$。

8. 5

【分析】
要解决这道题，我们需要先利用幂的运算性质将等式左边展开，再根据“等式两边相同底数的幂，其指数相等”的原则求出m和n的值，最后将m、n代入式子$m^{2}-2n$计算结果。具体思路如下：首先回忆积的乘方和幂的乘方法则，把左边的式子展开成同底数幂的形式；然后对比等式两边的指数，列出关于m、n的方程；解出m、n后，代入目标式子计算即可得到答案。
【解析】
1. 根据积的乘方和幂的乘方法则展开等式左边：
$(a^{m}b^{n})^{3}=(a^{m})^{3}·(b^{n})^{3}=a^{3m}b^{3n}$
2. 根据等式两边同底数幂的指数相等，列方程：
因为$a^{3m}b^{3n}=a^{9}b^{6}$，所以可得：
$3m=9$，$3n=6$
3. 解方程求出m、n的值：
解得$m=3$，$n=2$
4. 代入式子计算结果：
将$m=3$，$n=2$代入$m^{2}-2n$，得：
$m^{2}-2n=3^{2}-2×2=9-4=5$
【答案】
5
【知识点】
幂的乘方法则、积的乘方法则、代数式求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，属于基础题型。解题的关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方法则，通过指数对应相等求出字母的值，再代入计算，需要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8

9. 计算下列各题。
（1）$(x^{3}y^{3})^{m}$。
（2）$(-3pq)^{2}$。
（3）$(3× 10^{3})^{2}$。
（4）$(-\frac{4}{3}ab^{2}c^{3})^{3}$。

9. 解：(1) $(x^{3}y^{3})^{m}=x^{3m}y^{3m}$。
(2) $(-3pq)^{2}=9p^{2}q^{2}$。
(3) $(3×10^{3})^{2}=3^{2}×10^{3×2}=9×10^{6}$。
(4) $(-\frac {4}{3}ab^{2}c^{3})^{3}=-\frac {64}{27}a^{3}b^{6}c^{9}$。

【分析】
这几道题都是幂的运算问题，需要运用积的乘方和幂的乘方法则来求解。解题思路如下：
1. 回忆核心法则：积的乘方法则为$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），即把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则为$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），即底数不变，指数相乘。
2. 针对每道题，先应用积的乘方法则拆分因式，再对含幂的因式用幂的乘方法则计算，同时注意符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
具体到各小题：
(1) 将$x^3$和$y^3$作为独立因式，拆分后用幂的乘方法则计算指数；
(2) 将$-3$、$p$、$q$分别乘方，注意负数的平方为正数；
(3) 将$3$和$10^3$分别乘方，对$10^3$应用幂的乘方法则计算指数；
(4) 将$-\frac{4}{3}$、$a$、$b^2$、$c^3$分别乘方，注意负数的立方为负数，再对$b^2$、$c^3$用幂的乘方法则计算指数。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则和幂的乘方法则：
$(x^{3}y^{3})^{m}=(x^3)^m · (y^3)^m=x^{3m}y^{3m}$；
(2) 根据积的乘方法则：
$(-3pq)^{2}=(-3)^2 · p^2 · q^2=9p^{2}q^{2}$；
(3) 根据积的乘方法则和幂的乘方法则：
$(3× 10^{3})^{2}=3^2 · (10^3)^2=9×10^{3×2}=9×10^{6}$；
(4) 根据积的乘方法则和幂的乘方法则：
$(-\frac{4}{3}ab^{2}c^{3})^{3}=(-\frac{4}{3})^3 · a^3 · (b^2)^3 · (c^3)^3=-\frac{64}{27}a^3b^{2×3}c^{3×3}=-\frac{64}{27}a^{3}b^{6}c^{9}$。
【答案】
(1) $x^{3m}y^{3m}$；
(2) $9p^{2}q^{2}$；
(3) $9×10^{6}$；
(4) $-\frac{64}{27}a^{3}b^{6}c^{9}$。
【知识点】
积的乘方法则、幂的乘方法则
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题关键是准确掌握积的乘方和幂的乘方法则，重点注意符号运算和指数的正确计算，避免出现符号错误或指数运算失误。熟练掌握法则后，这类题目可轻松求解。
【难度系数】
0.8

10. 计算。
（1）$a^{2}· (ab)^{3}$。
（2）$(ab)^{3}· (ac)^{4}$。
（3）$a^{5}· (-a)^{3}+(-2a^{2})^{4}$。
（4）$(-2x^{2})^{3}+x^{2}· x^{4}-(-3x^{3})^{2}$。

10. 解：(1) $a^{2}· (ab)^{3}=a^{2}· a^{3}b^{3}=a^{5}b^{3}$。
(2) $(ab)^{3}· (ac)^{4}=a^{3}b^{3}· a^{4}c^{4}=a^{7}b^{3}c^{4}$。
(3) $a^{5}· (-a)^{3}+(-2a^{2})^{4}=-a^{8}+16a^{8}=15a^{8}$。
(4) $(-2x^{2})^{3}+x^{2}· x^{4}-(3x^{3})^{2}=-8x^{6}+x^{6}-9x^{6}=-16x^{6}$。

【分析】
这几道题属于整式的幂运算与加减混合运算，解题核心是遵循“先乘方、再乘法、最后加减”的运算顺序，结合幂的相关法则逐步计算：
1. 第(1)题：先利用积的乘方法则展开$(ab)^3$，再通过同底数幂的乘法法则计算$a^2$与展开式的乘积；
2. 第(2)题：分别对$(ab)^3$和$(ac)^4$运用积的乘方法则展开，再合并$a$的指数完成同底数幂乘法，最后整理式子；
3. 第(3)题：先计算$(-a)^3$和$(-2a^2)^4$，注意负数乘方的符号，再计算$a^5·(-a)^3$的同底数幂乘法，最后合并同类项；
4. 第(4)题：先依次计算各项乘方，再完成同底数幂乘法，最后合并所有同类项，全程关注符号变化。
【解析】
(1) $a^{2}· (ab)^{3}$
$=a^{2}· a^{3}b^{3}$（根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$）
$=a^{5}b^{3}$（根据同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$）
(2) $(ab)^{3}· (ac)^{4}$
$=a^{3}b^{3}· a^{4}c^{4}$（分别对两个积的乘方展开）
$=a^{7}b^{3}c^{4}$（合并$a$的指数完成同底数幂乘法）
(3) $a^{5}· (-a)^{3}+(-2a^{2})^{4}$
$=a^5·(-a^3)+16a^8$（计算乘方：$(-a)^3=-a^3$，$(-2a^2)^4=(-2)^4·(a^2)^4=16a^8$）
$=-a^{8}+16a^{8}$（计算同底数幂乘法，注意符号）
$=15a^{8}$（合并同类项）
(4) $(-2x^{2})^{3}+x^{2}· x^{4}-(-3x^{3})^{2}$
$=-8x^6+x^6-9x^6$（计算乘方与同底数幂乘法：$(-2x^2)^3=-8x^6$，$x^2·x^4=x^6$，$(-3x^3)^2=9x^6$）
$=-16x^{6}$（合并同类项）
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^{5}b^{3}}$；(2) $\boldsymbol{a^{7}b^{3}c^{4}}$；(3) $\boldsymbol{15a^{8}}$；(4) $\boldsymbol{-16x^{6}}$
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题重点考查幂的运算法则及合并同类项的应用，解题时需严格遵循运算顺序，尤其要注意负数乘方的符号变化，避免因符号失误导致结果错误，是巩固整式幂运算基础的典型题目。
【难度系数】
0.8