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10. 计算。
（1）$ x · x^{5} · x^{7} $。
（2）$ 3^{2} × (-3)^{3} × 3 $。
（3）$ 4 × 2^{7} × 8 $。
（4）$ (-p)^{5} · (-p)^{4} + (-p)^{6} · p^{3} $。
（1）$ x · x^{5} · x^{7} $。
（2）$ 3^{2} × (-3)^{3} × 3 $。
（3）$ 4 × 2^{7} × 8 $。
（4）$ (-p)^{5} · (-p)^{4} + (-p)^{6} · p^{3} $。
答案
10. 解：(1)$x· x^{5}· x^{7}=x^{1+5+7}=x^{13}$。
(2)$3^{2}×(-3)^{3}×3=-3^{2}×3^{3}×3=-3^{2+3+1}=-3^{6}$。
(3)$4×2^{7}×8=2^{2}×2^{7}×2^{3}=2^{12}$。
(4)$(-p)^{5}· (-p)^{4}+(-p)^{6}· p^{3}=-p^{9}+p^{9}=0$。
(2)$3^{2}×(-3)^{3}×3=-3^{2}×3^{3}×3=-3^{2+3+1}=-3^{6}$。
(3)$4×2^{7}×8=2^{2}×2^{7}×2^{3}=2^{12}$。
(4)$(-p)^{5}· (-p)^{4}+(-p)^{6}· p^{3}=-p^{9}+p^{9}=0$。
解析
【分析】
本题主要考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：
1. 对于（1），所有项底数均为x，直接运用同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，将各指数求和即可得到结果。
2. 对于（2），先处理符号，$(-3)^3$是负数的奇次幂，结果为负，转化为$-3^3$，此时所有项底数均为3，再运用同底数幂乘法法则计算指数和，保留负号。
3. 对于（3），先把4和8转化为以2为底数的幂（$4=2^2$，$8=2^3$），将所有项化为同底数幂后，按法则计算指数相加的结果。
4. 对于（4），先分别计算两个乘法项：根据负数幂的符号规律，奇次幂为负、偶次幂为正，$(-p)^5·(-p)^4=(-p)^9=-p^9$，$(-p)^6·p^3=p^6·p^3=p^9$，最后将两个互为相反数的结果相加，和为0。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则计算：
$x · x^{5} · x^{7}=x^{1+5+7}=x^{13}$
(2) 先转化符号，再运用同底数幂乘法法则：
$3^{2} × (-3)^{3} × 3=-3^{2}×3^{3}×3=-3^{2+3+1}=-3^{6}$
(3) 将4和8转化为以2为底数的幂后计算：
$4 × 2^{7} × 8=2^{2}×2^{7}×2^{3}=2^{2+7+3}=2^{12}$
(4) 分别计算两个乘法部分再求和：
$(-p)^{5} · (-p)^{4}=(-p)^{5+4}=(-p)^9=-p^9$
$(-p)^{6} · p^{3}=p^6·p^3=p^{6+3}=p^9$
$-p^9+p^9=0$
【答案】
(1) $x^{13}$；(2) $-3^{6}$；(3) $2^{12}$；(4) $0$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号性质
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的应用，同时需要掌握负数幂的符号判断方法以及不同底数向同底数转化的技巧，计算时需注意指数相加的准确性和符号的处理。
【难度系数】
0.8
本题主要考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：
1. 对于（1），所有项底数均为x，直接运用同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，将各指数求和即可得到结果。
2. 对于（2），先处理符号，$(-3)^3$是负数的奇次幂，结果为负，转化为$-3^3$，此时所有项底数均为3，再运用同底数幂乘法法则计算指数和，保留负号。
3. 对于（3），先把4和8转化为以2为底数的幂（$4=2^2$，$8=2^3$），将所有项化为同底数幂后，按法则计算指数相加的结果。
4. 对于（4），先分别计算两个乘法项：根据负数幂的符号规律，奇次幂为负、偶次幂为正，$(-p)^5·(-p)^4=(-p)^9=-p^9$，$(-p)^6·p^3=p^6·p^3=p^9$，最后将两个互为相反数的结果相加，和为0。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则计算：
$x · x^{5} · x^{7}=x^{1+5+7}=x^{13}$
(2) 先转化符号，再运用同底数幂乘法法则：
$3^{2} × (-3)^{3} × 3=-3^{2}×3^{3}×3=-3^{2+3+1}=-3^{6}$
(3) 将4和8转化为以2为底数的幂后计算：
$4 × 2^{7} × 8=2^{2}×2^{7}×2^{3}=2^{2+7+3}=2^{12}$
(4) 分别计算两个乘法部分再求和：
$(-p)^{5} · (-p)^{4}=(-p)^{5+4}=(-p)^9=-p^9$
$(-p)^{6} · p^{3}=p^6·p^3=p^{6+3}=p^9$
$-p^9+p^9=0$
【答案】
(1) $x^{13}$；(2) $-3^{6}$；(3) $2^{12}$；(4) $0$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号性质
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的应用，同时需要掌握负数幂的符号判断方法以及不同底数向同底数转化的技巧，计算时需注意指数相加的准确性和符号的处理。
【难度系数】
0.8
11. 设 $ 5^{m} = x $，$ 5^{n} = y $，则 $ 5^{m + n + 3} = $(
A.$ 125xy $
B.$ x + y + 15 $
C.$ x + y + 125 $
D.$ 15xy $
A
)A.$ 125xy $
B.$ x + y + 15 $
C.$ x + y + 125 $
D.$ 15xy $
答案
11. A
解析
【分析】
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{p+q}=a^p · a^q$，反之$a^p · a^q=a^{p+q}$也成立。题目要求$5^{m+n+3}$，我们可以将指数拆分为$m$、$n$、$3$的和，利用法则的逆用把原式拆成几个同底数幂相乘的形式，再代入已知的$5^m=x$、$5^n=y$，最后计算出$5^3$的值，就能得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则的逆运算：
$\begin{aligned}5^{m+n+3}&=5^m · 5^n · 5^3\\\end{aligned}$
已知$5^m=x$，$5^n=y$，且$5^3=125$，代入上式可得：
$5^{m+n+3}=x · y · 125=125xy$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 有理数的乘方
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的逆用，属于基础题。解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，能将所求式子转化为已知条件的形式，通过代入计算得到结果，需要注意指数拆分的正确性和乘方运算的准确性。
【难度系数】
0.8
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{p+q}=a^p · a^q$，反之$a^p · a^q=a^{p+q}$也成立。题目要求$5^{m+n+3}$，我们可以将指数拆分为$m$、$n$、$3$的和，利用法则的逆用把原式拆成几个同底数幂相乘的形式，再代入已知的$5^m=x$、$5^n=y$，最后计算出$5^3$的值，就能得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则的逆运算：
$\begin{aligned}5^{m+n+3}&=5^m · 5^n · 5^3\\\end{aligned}$
已知$5^m=x$，$5^n=y$，且$5^3=125$，代入上式可得：
$5^{m+n+3}=x · y · 125=125xy$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 有理数的乘方
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的逆用，属于基础题。解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，能将所求式子转化为已知条件的形式，通过代入计算得到结果，需要注意指数拆分的正确性和乘方运算的准确性。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $ 2^{a} = 5 $，$ 2^{b} = 10 $，$ 2^{c} = 50 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 之间满足的等量关系是
$a+b=c$
。答案
12. $a+b=c$ 【解析】因为$5×10=50$，所以$2^{a}· 2^{b}=2^{c}$，
所以$2^{a+b}=2^{c}$，所以$a+b=c$。
所以$2^{a+b}=2^{c}$，所以$a+b=c$。
解析
【分析】
首先观察已知条件中三个幂的底数均为2，对应的幂值5、10、50存在明确的乘法关系：$5×10=50$。我们可以借助这个数量关系，将数值替换为对应的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则把左边的乘积转化为同底数幂指数相加的形式，最后根据“底数相同且不为0、1时，相等的幂的指数也相等”这一性质，就能推导出$a$、$b$、$c$之间的等量关系。
【解析】
因为 $5 × 10 = 50$，又已知 $2^a = 5$，$2^b = 10$，$2^c = 50$，将数值代入等式可得：
$2^a · 2^b = 2^c$
根据同底数幂的乘法法则：$2^m · 2^n = 2^{m+n}$，对左边进行化简：
$2^{a+b} = 2^c$
由于底数2是大于0且不等于1的数，当两个同底数幂相等时，指数必然相等，因此：
$a + b = c$
【答案】
$a+b=c$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂相等的判定
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是发现已知幂的数值间的乘法关系，将其转化为幂的运算，通过同底数幂乘法法则建立指数间的联系，侧重基础运算能力的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件中三个幂的底数均为2，对应的幂值5、10、50存在明确的乘法关系：$5×10=50$。我们可以借助这个数量关系，将数值替换为对应的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则把左边的乘积转化为同底数幂指数相加的形式，最后根据“底数相同且不为0、1时，相等的幂的指数也相等”这一性质，就能推导出$a$、$b$、$c$之间的等量关系。
【解析】
因为 $5 × 10 = 50$，又已知 $2^a = 5$，$2^b = 10$，$2^c = 50$，将数值代入等式可得：
$2^a · 2^b = 2^c$
根据同底数幂的乘法法则：$2^m · 2^n = 2^{m+n}$，对左边进行化简：
$2^{a+b} = 2^c$
由于底数2是大于0且不等于1的数，当两个同底数幂相等时，指数必然相等，因此：
$a + b = c$
【答案】
$a+b=c$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂相等的判定
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是发现已知幂的数值间的乘法关系，将其转化为幂的运算，通过同底数幂乘法法则建立指数间的联系，侧重基础运算能力的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13. （1）已知 $ 2^{b} = 5 $，$ 2^{a + 1} = 6 $，求 $ 2^{a + b + 3} $ 的值。
（2）已知 $ 3^{x + 1} - 3^{x} = 54 $，求 $ x $ 的值。
（3）当 $ x^{2} = a $，$ x^{3} = b $ 时，用 $ a $，$ b $ 表示 $ x^{7} $。
（2）已知 $ 3^{x + 1} - 3^{x} = 54 $，求 $ x $ 的值。
（3）当 $ x^{2} = a $，$ x^{3} = b $ 时，用 $ a $，$ b $ 表示 $ x^{7} $。
答案
13. 解：(1)$2^{a+b+3}=2^{b}×2^{a+1}×2^{2}=5×6×4=120$。
(2)因为$3^{x+1}-3^{x}=3^{x}· (3-1)=2· 3^{x}=54$，
所以$3^{x}=27$，解得$x=3$。
(3)$x^{7}=x^{2}· x^{2}· x^{3}=a· a· b=a^{2}b$。
(2)因为$3^{x+1}-3^{x}=3^{x}· (3-1)=2· 3^{x}=54$，
所以$3^{x}=27$，解得$x=3$。
(3)$x^{7}=x^{2}· x^{2}· x^{3}=a· a· b=a^{2}b$。
解析
【分析】
（1）要求$2^{a+b+3}$的值，根据同底数幂乘法法则的逆用，可将指数拆分为已知条件中含有的形式，即$2^{a+b+3}=2^{b}×2^{a+1}×2^{2}$，代入已知的$2^b=5$和$2^{a+1}=6$即可计算。
（2）对于$3^{x+1}-3^{x}=54$，观察到两项都含有公因式$3^x$，先提取公因式将式子化简为$3^x×(3-1)=2×3^x$，再通过等式求出$3^x$的值，最后根据指数的性质确定$x$。
（3）要表示$x^7$，根据指数的加法性质，将7拆分为$2+2+3$，即$x^7=x^2·x^2·x^3$，代入已知的$x^2=a$和$x^3=b$就能得到结果。
【解析】
(1) 利用同底数幂乘法法则的逆运算：
$2^{a+b+3}=2^{b}×2^{a+1}×2^{2}$
将$2^{b}=5$，$2^{a+1}=6$代入：
原式$=5×6×4=120$
(2) 对$3^{x+1}-3^{x}$提取公因式$3^x$：
$3^{x+1}-3^{x}=3^{x}·(3-1)=2·3^{x}$
已知$3^{x+1}-3^{x}=54$，则$2·3^{x}=54$，
两边同时除以2得：$3^{x}=27$，
因为$27=3^3$，所以$x=3$。
(3) 根据同底数幂的乘法法则拆分指数：
$x^7=x^{2+2+3}=x^{2}·x^{2}·x^{3}$
将$x^{2}=a$，$x^{3}=b$代入：
原式$=a·a·b=a^{2}b$
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$；(2) $\boldsymbol{x=3}$；(3) $\boldsymbol{a^{2}b}$
【知识点】
同底数幂的乘法，提取公因式，指数拆分变形
【点评】
本题三道小题均围绕指数运算核心法则展开，重点考查同底数幂乘法法则及其逆用的掌握，以及通过提取公因式、指数拆分将未知式转化为已知式的能力，属于基础题型，需熟练掌握指数运算基本性质，灵活转化式子。
【难度系数】
0.8
（1）要求$2^{a+b+3}$的值，根据同底数幂乘法法则的逆用，可将指数拆分为已知条件中含有的形式，即$2^{a+b+3}=2^{b}×2^{a+1}×2^{2}$，代入已知的$2^b=5$和$2^{a+1}=6$即可计算。
（2）对于$3^{x+1}-3^{x}=54$，观察到两项都含有公因式$3^x$，先提取公因式将式子化简为$3^x×(3-1)=2×3^x$，再通过等式求出$3^x$的值，最后根据指数的性质确定$x$。
（3）要表示$x^7$，根据指数的加法性质，将7拆分为$2+2+3$，即$x^7=x^2·x^2·x^3$，代入已知的$x^2=a$和$x^3=b$就能得到结果。
【解析】
(1) 利用同底数幂乘法法则的逆运算：
$2^{a+b+3}=2^{b}×2^{a+1}×2^{2}$
将$2^{b}=5$，$2^{a+1}=6$代入：
原式$=5×6×4=120$
(2) 对$3^{x+1}-3^{x}$提取公因式$3^x$：
$3^{x+1}-3^{x}=3^{x}·(3-1)=2·3^{x}$
已知$3^{x+1}-3^{x}=54$，则$2·3^{x}=54$，
两边同时除以2得：$3^{x}=27$，
因为$27=3^3$，所以$x=3$。
(3) 根据同底数幂的乘法法则拆分指数：
$x^7=x^{2+2+3}=x^{2}·x^{2}·x^{3}$
将$x^{2}=a$，$x^{3}=b$代入：
原式$=a·a·b=a^{2}b$
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$；(2) $\boldsymbol{x=3}$；(3) $\boldsymbol{a^{2}b}$
【知识点】
同底数幂的乘法，提取公因式，指数拆分变形
【点评】
本题三道小题均围绕指数运算核心法则展开，重点考查同底数幂乘法法则及其逆用的掌握，以及通过提取公因式、指数拆分将未知式转化为已知式的能力，属于基础题型，需熟练掌握指数运算基本性质，灵活转化式子。
【难度系数】
0.8
14. 规定：$ x \odot y = 3^{x} · 3^{y} $。
（1）求 $ 2 \odot 5 $ 的值。
（2）若 $ 1 \odot (4x - 3) = 81 $，求 $ x $ 的值。
（3）判断 $ x \odot (y + z) $ 与 $ (x + y) \odot z $ 是否相等，并说明理由。
（1）求 $ 2 \odot 5 $ 的值。
（2）若 $ 1 \odot (4x - 3) = 81 $，求 $ x $ 的值。
（3）判断 $ x \odot (y + z) $ 与 $ (x + y) \odot z $ 是否相等，并说明理由。
答案
14. 解：(1)因为$x\odot y=3^{x}· 3^{y}$，
所以$2\odot 5=3^{2}· 3^{5}=3^{7}=2187$。
(2)因为$1\odot (4x-3)=81$，
所以$3^{1}\odot 3^{4x-3}=3^{4}$，
所以$4x-2=4$，
所以$x=\frac{3}{2}$。
(3)$x\odot (y+z)=(x+y)\odot z$。
理由：因为$x\odot (y+z)=3^{x}· 3^{y+z}=3^{x+y+z}$，
$(x+y)\odot z=3^{y+x}· 3^{z}=3^{x+y+z}$，
所以$x\odot (y+z)=(x+y)\odot z$。
所以$2\odot 5=3^{2}· 3^{5}=3^{7}=2187$。
(2)因为$1\odot (4x-3)=81$，
所以$3^{1}\odot 3^{4x-3}=3^{4}$，
所以$4x-2=4$，
所以$x=\frac{3}{2}$。
(3)$x\odot (y+z)=(x+y)\odot z$。
理由：因为$x\odot (y+z)=3^{x}· 3^{y+z}=3^{x+y+z}$，
$(x+y)\odot z=3^{y+x}· 3^{z}=3^{x+y+z}$，
所以$x\odot (y+z)=(x+y)\odot z$。
解析
【分析】
本题是新定义运算结合幂的运算的题目，可按以下思路解题：
1. 第(1)问：直接根据题目给出的新定义$x \odot y = 3^{x} · 3^{y}$，将$x=2$，$y=5$代入，再利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则计算即可。
2. 第(2)问：先代入新定义得到$3^{1}·3^{4x-3}$，化简后将等式右边的81转化为$3^4$，利用“底数相同的幂相等时指数也相等”的性质列出一元一次方程，进而求解$x$。
3. 第(3)问：分别计算$x \odot (y + z)$和$(x + y) \odot z$的结果，利用同底数幂乘法法则化简后，对比两个结果判断是否相等。
【解析】
(1) 由规定的运算$x \odot y = 3^{x} · 3^{y}$，将$x=2$，$y=5$代入：
$2 \odot 5 = 3^{2} · 3^{5}$
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$3^{2} · 3^{5}=3^{2+5}=3^7=2187$
(2) 因为$1 \odot (4x - 3) = 81$，根据新定义运算：
$3^{1}·3^{4x-3}=81$
化简左边得：$3^{1+4x-3}=3^{4x-2}$
又因为$81=3^4$，所以：
$3^{4x-2}=3^4$
由于底数相同的幂相等则指数相等，因此：
$4x-2=4$
解方程：
$4x=4+2$
$4x=6$
$x=\frac{3}{2}$
(3) $x \odot (y + z)$与$(x + y) \odot z$相等，理由如下：
计算$x \odot (y + z)$：
根据新定义，$x \odot (y + z)=3^{x}·3^{y+z}=3^{x+y+z}$
计算$(x + y) \odot z$：
根据新定义，$(x + y) \odot z=3^{x+y}·3^{z}=3^{x+y+z}$
因为$3^{x+y+z}=3^{x+y+z}$，所以$x \odot (y + z)=(x + y) \odot z$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2187}$；(2) $\boldsymbol{x=\frac{3}{2}}$；(3) $\boldsymbol{x \odot (y + z)=(x + y) \odot z}$，理由见解析。
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 新定义运算
3. 解一元一次方程
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查了同底数幂乘法法则的应用与一元一次方程的求解，解题核心是准确理解新定义规则，灵活将不同形式的数转化为同底数幂形式，利用幂的性质建立等式求解。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算结合幂的运算的题目，可按以下思路解题：
1. 第(1)问：直接根据题目给出的新定义$x \odot y = 3^{x} · 3^{y}$，将$x=2$，$y=5$代入，再利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则计算即可。
2. 第(2)问：先代入新定义得到$3^{1}·3^{4x-3}$，化简后将等式右边的81转化为$3^4$，利用“底数相同的幂相等时指数也相等”的性质列出一元一次方程，进而求解$x$。
3. 第(3)问：分别计算$x \odot (y + z)$和$(x + y) \odot z$的结果，利用同底数幂乘法法则化简后，对比两个结果判断是否相等。
【解析】
(1) 由规定的运算$x \odot y = 3^{x} · 3^{y}$，将$x=2$，$y=5$代入：
$2 \odot 5 = 3^{2} · 3^{5}$
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$3^{2} · 3^{5}=3^{2+5}=3^7=2187$
(2) 因为$1 \odot (4x - 3) = 81$，根据新定义运算：
$3^{1}·3^{4x-3}=81$
化简左边得：$3^{1+4x-3}=3^{4x-2}$
又因为$81=3^4$，所以：
$3^{4x-2}=3^4$
由于底数相同的幂相等则指数相等，因此：
$4x-2=4$
解方程：
$4x=4+2$
$4x=6$
$x=\frac{3}{2}$
(3) $x \odot (y + z)$与$(x + y) \odot z$相等，理由如下：
计算$x \odot (y + z)$：
根据新定义，$x \odot (y + z)=3^{x}·3^{y+z}=3^{x+y+z}$
计算$(x + y) \odot z$：
根据新定义，$(x + y) \odot z=3^{x+y}·3^{z}=3^{x+y+z}$
因为$3^{x+y+z}=3^{x+y+z}$，所以$x \odot (y + z)=(x + y) \odot z$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2187}$；(2) $\boldsymbol{x=\frac{3}{2}}$；(3) $\boldsymbol{x \odot (y + z)=(x + y) \odot z}$，理由见解析。
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 新定义运算
3. 解一元一次方程
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查了同底数幂乘法法则的应用与一元一次方程的求解，解题核心是准确理解新定义规则，灵活将不同形式的数转化为同底数幂形式，利用幂的性质建立等式求解。
【难度系数】
0.6
