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11. 已知$3^{n}=2$，$5^{n}=3$，则$15^{2n}$的值为(
A.$25$
B.$36$
C.$10$
D.$12$
B
)A.$25$
B.$36$
C.$10$
D.$12$
答案
11. B
解析
【分析】
要计算$15^{2n}$的值，首先观察到15可拆分为3×5，因此可利用幂的运算性质将所求式子转化为与已知条件$3^{n}=2$、$5^{n}=3$相关的形式。先根据积的乘方公式逆用，将$15^{2n}$转化为$(3×5)^{2n}$，再结合幂的乘方公式，进一步转化为$(3^{n})^2×(5^{n})^2$，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
$15^{2n}=(3×5)^{2n}$
根据积的乘方运算性质：$(ab)^m=a^m b^m$，可得：
$(3×5)^{2n}=3^{2n}×5^{2n}$
再根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$3^{2n}=(3^n)^2$，$5^{2n}=(5^n)^2$
已知$3^n=2$，$5^n=3$，代入得：
$(3^n)^2×(5^n)^2=2^2×3^2=4×9=36$
因此$15^{2n}=36$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是通过幂的运算法则将所求代数式转化为已知条件的形式，体现了转化思想的应用，熟练掌握积的乘方和幂的乘方公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
要计算$15^{2n}$的值，首先观察到15可拆分为3×5，因此可利用幂的运算性质将所求式子转化为与已知条件$3^{n}=2$、$5^{n}=3$相关的形式。先根据积的乘方公式逆用，将$15^{2n}$转化为$(3×5)^{2n}$，再结合幂的乘方公式，进一步转化为$(3^{n})^2×(5^{n})^2$，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
$15^{2n}=(3×5)^{2n}$
根据积的乘方运算性质：$(ab)^m=a^m b^m$，可得：
$(3×5)^{2n}=3^{2n}×5^{2n}$
再根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$3^{2n}=(3^n)^2$，$5^{2n}=(5^n)^2$
已知$3^n=2$，$5^n=3$，代入得：
$(3^n)^2×(5^n)^2=2^2×3^2=4×9=36$
因此$15^{2n}=36$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是通过幂的运算法则将所求代数式转化为已知条件的形式，体现了转化思想的应用，熟练掌握积的乘方和幂的乘方公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
12. 地球可以近似地看作球体，如果用$V$，$r$分别代表球的体积和半径，那么$V=\frac{4}{3}π r^{3}$。地球的半径大约为$6× 10^{3}km$，则它的体积大约是
$8.64×10^{11}$
$km^{3}$。($π$取$3$，结果用科学记数法表示)答案
12. $8.64×10^{11}$
解析
【分析】
要计算地球的体积，已知球的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^{3}$，以及地球半径$r=6×10^{3}km$，$π$取3，解题思路是将已知数值代入体积公式，按照先算乘方、再算乘法的顺序进行计算，最后将结果转化为规范的科学记数法形式。首先计算半径的立方，再结合$\frac{4}{3}$和$π$的值进行乘法运算，最后调整结果为科学记数法的标准形式（$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数）。
【解析】
已知球的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^{3}$，将$r=6×10^{3}km$，$π=3$代入公式：
1. 计算半径的立方：
$(6×10^{3})^{3}=6^{3}×(10^{3})^{3}=216×10^{9}$
2. 代入体积公式计算：
$V=\frac{4}{3}×3×216×10^{9}$
先化简$\frac{4}{3}×3=4$，则：
$V=4×216×10^{9}=864×10^{9}$
3. 将结果转化为科学记数法：
$864×10^{9}=8.64×10^{2}×10^{9}=8.64×10^{11}(km^{3})$
【答案】
$8.64×10^{11}$
【知识点】
球的体积计算、科学记数法、幂的乘方运算
【点评】
本题主要考查球体积公式的应用以及科学记数法和幂的运算规则，属于基础计算题。解题时需注意幂的乘方运算规则（底数不变，指数相乘），以及科学记数法的规范形式，计算过程中要仔细核对每一步，避免因计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要计算地球的体积，已知球的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^{3}$，以及地球半径$r=6×10^{3}km$，$π$取3，解题思路是将已知数值代入体积公式，按照先算乘方、再算乘法的顺序进行计算，最后将结果转化为规范的科学记数法形式。首先计算半径的立方，再结合$\frac{4}{3}$和$π$的值进行乘法运算，最后调整结果为科学记数法的标准形式（$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数）。
【解析】
已知球的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^{3}$，将$r=6×10^{3}km$，$π=3$代入公式：
1. 计算半径的立方：
$(6×10^{3})^{3}=6^{3}×(10^{3})^{3}=216×10^{9}$
2. 代入体积公式计算：
$V=\frac{4}{3}×3×216×10^{9}$
先化简$\frac{4}{3}×3=4$，则：
$V=4×216×10^{9}=864×10^{9}$
3. 将结果转化为科学记数法：
$864×10^{9}=8.64×10^{2}×10^{9}=8.64×10^{11}(km^{3})$
【答案】
$8.64×10^{11}$
【知识点】
球的体积计算、科学记数法、幂的乘方运算
【点评】
本题主要考查球体积公式的应用以及科学记数法和幂的运算规则，属于基础计算题。解题时需注意幂的乘方运算规则（底数不变，指数相乘），以及科学记数法的规范形式，计算过程中要仔细核对每一步，避免因计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
13. 逆用积的乘方公式计算。
（1）$(\frac{4}{5})^{2025}· (-1.25)^{2025}$。
（2）$(-4)^{3}× (-\frac{3}{4})^{3}× (-\frac{1}{3})^{3}$。
（3）$(3\frac{1}{8})^{12}× (\frac{8}{25})^{11}× (-2)^{3}$。
（1）$(\frac{4}{5})^{2025}· (-1.25)^{2025}$。
（2）$(-4)^{3}× (-\frac{3}{4})^{3}× (-\frac{1}{3})^{3}$。
（3）$(3\frac{1}{8})^{12}× (\frac{8}{25})^{11}× (-2)^{3}$。
答案
13. 解：(1) 原式$=[\frac {4}{5}×(-1.25)]^{2025}=[\frac {4}{5}×(-\frac {5}{4})]^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
(2) 原式$=[(-4)×(-\frac {3}{4})×(-\frac {1}{3})]^{3}=(-1)^{3}=-1$。
(3) 原式$=(\frac {25}{8})^{12}×(\frac {8}{25})^{11}×(-2)^{3}=(\frac {25}{8}×\frac {8}{25})^{11}×\frac {25}{8}×(-8)=-25$。
(2) 原式$=[(-4)×(-\frac {3}{4})×(-\frac {1}{3})]^{3}=(-1)^{3}=-1$。
(3) 原式$=(\frac {25}{8})^{12}×(\frac {8}{25})^{11}×(-2)^{3}=(\frac {25}{8}×\frac {8}{25})^{11}×\frac {25}{8}×(-8)=-25$。
解析
【分析】
这三道题均需逆用积的乘方公式进行简便计算，解题思路如下：
1. 先明确积的乘方逆用公式：$a^n·b^n=(ab)^n$，多因数时可拓展为$a^n·b^n·c^n=(abc)^n$，核心是先将底数相乘再乘方，简化运算。
2. 第(1)题：两个幂指数相同，先把小数$-1.25$化为分数$-\frac{5}{4}$，再直接逆用公式计算底数乘积，最后算乘方。
3. 第(2)题：三个幂指数相同，直接逆用拓展公式，先计算三个底数的乘积，再进行乘方，注意符号运算。
4. 第(3)题：两个幂指数不同，先把带分数$3\frac{1}{8}$化为假分数$\frac{25}{8}$，再将指数为12的幂拆成指数为11的幂乘本身，构造出可逆用公式的形式，最后结合剩余部分计算，注意符号和分数乘法。
【解析】
(1) 原式$=[\frac{4}{5}×(-1.25)]^{2025}=[\frac{4}{5}×(-\frac{5}{4})]^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
(2) 原式$=[(-4)×(-\frac{3}{4})×(-\frac{1}{3})]^{3}=(-1)^{3}=-1$。
(3) 原式$=(\frac{25}{8})^{12}×(\frac{8}{25})^{11}×(-2)^{3}$
$=(\frac{25}{8}×\frac{8}{25})^{11}×\frac{25}{8}×(-8)$
$=1^{11}×\frac{25}{8}×(-8)$
$=-25$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $-1$；(3) $-25$
【知识点】
积的乘方逆运算、分数小数互化、带分数化假分数
【点评】
本题重点考查积的乘方公式的逆运用，解题关键是观察幂的指数与底数特征，通过转化底数形式、拆分指数等方式构造可逆用公式的形式，简化计算过程，同时需注意符号运算，避免失误。
【难度系数】
0.6
这三道题均需逆用积的乘方公式进行简便计算，解题思路如下：
1. 先明确积的乘方逆用公式：$a^n·b^n=(ab)^n$，多因数时可拓展为$a^n·b^n·c^n=(abc)^n$，核心是先将底数相乘再乘方，简化运算。
2. 第(1)题：两个幂指数相同，先把小数$-1.25$化为分数$-\frac{5}{4}$，再直接逆用公式计算底数乘积，最后算乘方。
3. 第(2)题：三个幂指数相同，直接逆用拓展公式，先计算三个底数的乘积，再进行乘方，注意符号运算。
4. 第(3)题：两个幂指数不同，先把带分数$3\frac{1}{8}$化为假分数$\frac{25}{8}$，再将指数为12的幂拆成指数为11的幂乘本身，构造出可逆用公式的形式，最后结合剩余部分计算，注意符号和分数乘法。
【解析】
(1) 原式$=[\frac{4}{5}×(-1.25)]^{2025}=[\frac{4}{5}×(-\frac{5}{4})]^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
(2) 原式$=[(-4)×(-\frac{3}{4})×(-\frac{1}{3})]^{3}=(-1)^{3}=-1$。
(3) 原式$=(\frac{25}{8})^{12}×(\frac{8}{25})^{11}×(-2)^{3}$
$=(\frac{25}{8}×\frac{8}{25})^{11}×\frac{25}{8}×(-8)$
$=1^{11}×\frac{25}{8}×(-8)$
$=-25$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $-1$；(3) $-25$
【知识点】
积的乘方逆运算、分数小数互化、带分数化假分数
【点评】
本题重点考查积的乘方公式的逆运用，解题关键是观察幂的指数与底数特征，通过转化底数形式、拆分指数等方式构造可逆用公式的形式，简化计算过程，同时需注意符号运算，避免失误。
【难度系数】
0.6
14. （1）已知$2^{x+3}· 3^{x+3}=36^{x-2}$，求$x$的值。
（2）已知$25^{m}× 2× 10^{n}=5^{7}× 2^{4}$，求$m$，$n$的值。
（2）已知$25^{m}× 2× 10^{n}=5^{7}× 2^{4}$，求$m$，$n$的值。
答案
14. 解：(1) $2^{x+3}· 3^{x+3}=(2×3)^{x+3}=6^{x+3}=(6^{2})^{x-2}$，所以$6^{x+3}=6^{2x-4}$，所以$x+3=2x-4$，解得$x=7$。
(2) 原式$=5^{2m}×2×2^{n}×5^{n}=5^{2m+n}×2^{1+n}=5^{7}×2^{4}$，所以$\{\begin{array}{l} 2m+n=7,\\ 1+n=4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=3。\end{array} $
(2) 原式$=5^{2m}×2×2^{n}×5^{n}=5^{2m+n}×2^{1+n}=5^{7}×2^{4}$，所以$\{\begin{array}{l} 2m+n=7,\\ 1+n=4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=3。\end{array} $
解析
【分析】
（1）观察等式左右两边的底数，左边可利用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$将$2^{x+3}·3^{x+3}$合并为$(2×3)^{x+3}=6^{x+3}$；右边的36是6的平方，利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$将$36^{x-2}$转化为$(6^2)^{x-2}=6^{2x-4}$。因为底数相同的幂相等时指数相等，由此可建立一元一次方程求解$x$的值。
（2）先将等式左边的各底数分解为质因数形式：$25^m=(5^2)^m=5^{2m}$，$10^n=(2×5)^n=2^n·5^n$，再利用同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，将左边整理为$5^{2m+n}×2^{1+n}$。等式右边是$5^7×2^4$，由于等式两边质因数对应的幂相等，因此可得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 对等式左边利用积的乘方法则变形：
$2^{x+3}· 3^{x+3}=(2×3)^{x+3}=6^{x+3}$
对等式右边利用幂的乘方法则变形：
$36^{x-2}=(6^2)^{x-2}=6^{2(x-2)}=6^{2x-4}$
因为底数相同的幂相等则指数相等，所以：
$x+3=2x-4$
移项计算得：$x=7$
(2) 将等式左边的底数分解为质因数并整理：
$25^{m}× 2× 10^{n}=(5^2)^m×2×(2×5)^n=5^{2m}×2×2^n×5^n$
利用同底数幂的乘法法则合并：
$=5^{2m+n}×2^{1+n}$
已知等式右边为$5^{7}× 2^{4}$，根据等式两边对应质因数的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases} 2m+n=7 \\ 1+n=4 \end{cases}$
解第二个方程$1+n=4$，得$n=3$
将$n=3$代入第一个方程$2m+3=7$，解得$m=2$
最终得$\begin{cases} m=2 \\ n=3 \end{cases}$
【答案】
(1) $x=7$；(2) $\begin{cases} m=2 \\ n=3 \end{cases}$
【知识点】
积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的综合应用，解题关键是熟练运用相关幂的运算法则，将等式两边转化为同底数幂或质因数幂的形式，通过建立方程（组）求解，培养学生的转化思想与方程思想。
【难度系数】
0.7
（1）观察等式左右两边的底数，左边可利用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$将$2^{x+3}·3^{x+3}$合并为$(2×3)^{x+3}=6^{x+3}$；右边的36是6的平方，利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$将$36^{x-2}$转化为$(6^2)^{x-2}=6^{2x-4}$。因为底数相同的幂相等时指数相等，由此可建立一元一次方程求解$x$的值。
（2）先将等式左边的各底数分解为质因数形式：$25^m=(5^2)^m=5^{2m}$，$10^n=(2×5)^n=2^n·5^n$，再利用同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，将左边整理为$5^{2m+n}×2^{1+n}$。等式右边是$5^7×2^4$，由于等式两边质因数对应的幂相等，因此可得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 对等式左边利用积的乘方法则变形：
$2^{x+3}· 3^{x+3}=(2×3)^{x+3}=6^{x+3}$
对等式右边利用幂的乘方法则变形：
$36^{x-2}=(6^2)^{x-2}=6^{2(x-2)}=6^{2x-4}$
因为底数相同的幂相等则指数相等，所以：
$x+3=2x-4$
移项计算得：$x=7$
(2) 将等式左边的底数分解为质因数并整理：
$25^{m}× 2× 10^{n}=(5^2)^m×2×(2×5)^n=5^{2m}×2×2^n×5^n$
利用同底数幂的乘法法则合并：
$=5^{2m+n}×2^{1+n}$
已知等式右边为$5^{7}× 2^{4}$，根据等式两边对应质因数的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases} 2m+n=7 \\ 1+n=4 \end{cases}$
解第二个方程$1+n=4$，得$n=3$
将$n=3$代入第一个方程$2m+3=7$，解得$m=2$
最终得$\begin{cases} m=2 \\ n=3 \end{cases}$
【答案】
(1) $x=7$；(2) $\begin{cases} m=2 \\ n=3 \end{cases}$
【知识点】
积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的综合应用，解题关键是熟练运用相关幂的运算法则，将等式两边转化为同底数幂或质因数幂的形式，通过建立方程（组）求解，培养学生的转化思想与方程思想。
【难度系数】
0.7
