三、解答题

9. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-5,0)，B(-2,3)，C(-1,0).
(1)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A₁B₁C₁；
(2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A'B'C'；
(3)若以A'，B'，C'，D'为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D'的坐标______________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9.(1)解:如答图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
　(2)解:如答图，$\triangle A'B'C'$即为所求.
　(3)(-3,4)或(3,-2)或(3,6)
　　　　

10. (2023·高新区开学)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，延长CD到点F，使DF=DC，过点F作EF//AC，交OD的延长线于点E，连接OF，EC.
(1)求证：△ODC≌△EDF；
(2)连接AF，若OD=DC且∠BEC=45°，请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论.
　　　　

10.(1)证明:∵$EF// AC$，∴$\angle EFC=\angle OCF$，$\angle EFD=\angle OCD$.
　在$\triangle ODC$和$\triangle EDF$中，$\begin{cases} \angle EFD=\angle OCD, \\ DF = DC, \\ \angle FDE=\angle CDO, \end{cases}$
　∴$\triangle ODC\cong \triangle EDF(ASA)$.
　(2)解:四边形OCEF是正方形，证明如下，
　由(1)可得，$\triangle ODC\cong \triangle EDF$，
　∴$OD = DE$，$OC = EF$，又$EF// AC$，
　∴四边形OCEF是平行四边形.
　∵$OD = DE$，$OD = DC$，且$\angle BEC = 45^{\circ}$，
　∴$DC = DE$，∴$\angle DEC=\angle DCE = 45^{\circ}$，
　∴$\angle CDE=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$，即$OE\perp CF$，
　∴平行四边形OCEF是菱形.
　又∵$OD = DC$，∴$OE = CF$，
　∴菱形OCEF是正方形.

11. 如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)当点E从点A运动到点C时.
①求证：∠DCG的大小始终不变；
②若正方形ABCD的边长为2，则点G运动的路径长为_______.
　　　　　

11.(1)证明:如答图，过点E作$EP\perp CD$于点P，$EQ\perp BC$于点Q，
　　　　　　　
　则$\angle DPE=\angle FQE = 90^{\circ}$.
　又∵四边形ABCD是正方形，
　∴$\angle PCQ = 90^{\circ}$，∴$\angle PEQ = 90^{\circ}$.
　∵在正方形ABCD中，$\angle DCA=\angle BCA$，
　∴$EQ = EP$. ∵四边形DEFG是矩形，∴$\angle DEF = 90^{\circ}$，
　∴$\angle PED+\angle PEF = 90^{\circ}$.
　又∵$\angle PEQ=\angle QEF+\angle PEF = 90^{\circ}$，
　∴$\angle QEF=\angle PED$.
　在$\triangle EQF$和$\triangle EPD$中，
　$\begin{cases} \angle QEF=\angle PED, \\ EQ = EP, \\ \angle EQF=\angle EPD, \end{cases}$
　∴$\triangle EQF\cong \triangle EPD(ASA)$，
　∴$EF = ED$，
　∴矩形DEFG是正方形.
　(2)①证明:∵四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，
　∴$DA = DC$，$DE = DG$，$\angle ADC=\angle EDG$，$\angle DAC = 45^{\circ}$，
　∴$\angle ADE=\angle CDG$，
　∴$\triangle ADE\cong \triangle CDG(SAS)$，
　∴$\angle DCG=\angle DAE = 45^{\circ}$，
　∴$\angle DCG$的大小始终不变.
　②$2\sqrt{2}$