24. (本小题满分 13 分)【直观感知】
（1）如图①,在四边形 ABCD 中,连接 AC,BD,得到的$△ ABC$是等边三角形,$∠ BDC=22^{\circ}$,$∠ BDA=46^{\circ}$.现将$△ BDC$绕点 C 顺时针旋转$60^{\circ}$得$△ APC$,点 B 与点 A 重合,点 D 的对应点是 P.请补全图形,并直接写出$∠ DAP$的度数.
【类比探究】
（2）如图②,在四边形 ABCD 中,$∠ ADC=45^{\circ}$,$∠ ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AD=4$,$DC=6$.求 BD 的长.
【拓展运用】
（3）如图③,在四边形 ABCD 中,$∠ ABC=90^{\circ}$,$∠ ADC=α$,$\tan∠ ACB=\dfrac{4}{3}$,$AD=4$,$DC=6$.在α的变化过程中,求 BD 长的最大值.

（1）90°；（2）2√22；（3）36/5。

（1）补全图形如图①所示，∠DAP=90°。
（2）将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△BCE，连接DE。
∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE=4，CD=CE=6，∠ADC=∠BEC=45°，∠ACD=∠BCE。
∵∠ACB=90°，∴∠DCE=90°，△DCE为等腰直角三角形，DE=6√2，∠CDE=45°。
∵∠BEC=45°，∠DEC=45°，∴∠BED=90°。
在Rt△BED中，BD=√(BE²+DE²)=√(4²+(6√2)²)=√(16+72)=√88=2√22。
（3）设BC=3k，AB=4k，则AC=5k。将△BCD绕点C顺时针旋转∠ACB，使CB与CA重合，得△ACE，CE=CD·(AC/BC)=6×(5/3)=10，∠DCE=∠ACB，DE=√(CD²+CE²-2·CD·CE·cos∠ACB)=√(6²+10²-2×6×10×3/5)=8。
在△ADE中，AE=BD，AE≤AD+DE=4+8=12，∴BD的最大值为12×(3/5)=36/5。