25. (本小题满分 13 分)已知二次函数$y=ax^{2}-2ax-8a(a＜0)$的图象与 x 轴分别交于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,D 是二次函数在第一象限内的图象上的一动点,过点 D 作$DE// x$轴,交二次函数的图象于另一点 E,作点 D 关于 y 轴的对称点 P.
（1）求 PE 的长；
（2）若$△ CDP$是边长为 1 的等边三角形,求二次函数的解析式；
（3）求$\dfrac{S_{\mathrm{四边形}AOEP}}{S_{△ AOC}}$的最大值.

（1）对于二次函数$y=ax^2 - 2ax -8a$，令$y=0$，得$ax^2 - 2ax -8a=0$，即$x^2 - 2x -8=0$，解得$x=-2$或$x=4$，故$A(-2,0)$，$B(4,0)$。对称轴为$x=1$。设$D(m,n)$，则$E(2 - m,n)$，$P(-m,n)$。$PE=|(2 - m)-(-m)|=2$。
（2）$C(0,-8a)$，$PD=2m$，$△ CDP$为等边三角形，边长为1，故$PD=2m=1$，$m=\frac{1}{2}$。$C(0,c)$，$P(-\frac{1}{2},n)$，$CP=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(n - c)^2}=1$，得$(n - c)^2=\frac{3}{4}$。$n=a(\frac{1}{2})^2 - 2a(\frac{1}{2}) -8a=-\frac{35}{4}a$，$c=-8a$，$n - c=-\frac{3}{4}a$。因$a＜0$，$-\frac{3}{4}a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。解析式为$y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{4\sqrt{3}}{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
（3）$S_{四边形AOEP}=2n$，$S_{△ AOC}=-8a$，比值为$\frac{n}{-4a}$。$n=a(m^2 - 2m -8)$，比值$\frac{-m^2 + 2m +8}{4}$。$m\in(0,4)$，当$m=1$时，最大值为$\frac{9}{4}$。
（1）2；（2）$y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{4\sqrt{3}}{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}$；（3）$\frac{9}{4}$。