11. 若两个最简二次根式 $ m\sqrt{n} $ 与 $ a\sqrt{3} $ 的和为 $ 5\sqrt{3} $，则 $ m - n + a = $。

11. 2

12. 我们规定运算“$ △ $”：当 $ a ＞ b $ 时，$ a△ b = a + b $；当 $ a ≤ b $ 时，$ a△ b = a - b $，其他运算符号的意义不变。计算：$ (\sqrt{3}△\sqrt{2}) - (2\sqrt{3}△ 3\sqrt{2}) = $。

12. $ -\sqrt{3}+4\sqrt{2} $ 【解析】$ \because \sqrt{3}＞\sqrt{2},2\sqrt{3}＜3\sqrt{2} $，
$ \therefore (\sqrt{3}△\sqrt{2})-(2\sqrt{3}△3\sqrt{2}) $
$ =\sqrt{3}+\sqrt{2}-(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}) $
$ =-\sqrt{3}+4\sqrt{2} $。

13. 小雪同学准备解答试卷上的题目“计算：$ (*\sqrt{\frac{1}{27}} - \frac{1}{3}\sqrt{18}) - (\sqrt{\frac{4}{3}} - 4\sqrt{\frac{1}{2}}) $”时，发现“$ * $”处的数字印刷不清楚，她翻看了答案，发现最终结果是 $ \sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} $，她把“$ * $”处的数字猜测成 3，并进行计算，请你判断她的猜想正确吗。若正确，请写出她的求解过程；若不正确，请说明理由。

13. 解：小雪的猜想正确，她的求解过程如下：
$ \because (\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})+(\sqrt{\frac{4}{3}}-4\sqrt{\frac{1}{2}})=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3} $，
$ -\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{18}=-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{3} $，
$ \therefore “*” $处的数字为$ \frac{\sqrt{3}}{3}÷\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{27}=3 $。

14. 已知 $ x = \frac{1}{2}(\sqrt{7} + \sqrt{5}) $，$ y = \frac{1}{2}(\sqrt{7} - \sqrt{5}) $，求下列各式的值：
（1）$ x^2 - xy + y^2 $。
（2）$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $。

14. 解：$ \because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5}) $，
$ \therefore x+y=\sqrt{7},xy=\frac{1}{2} $。
(1)$ x^{2}-xy+y^{2}=(x+y)^{2}-3xy=(\sqrt{7})^{2}-3×\frac{1}{2}=\frac{11}{2} $。
(2)$ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{(\sqrt{7})^{2}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=12 $。

15. 阅读材料：在二次根式的运算中，经常会出现如 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $，$ \frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} $ 的式子化简，需要运用分数的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”。例如：$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $；$ \frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{3 - 2} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} $。类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：$ \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} $；$ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}} = \frac{3 - 1}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2}{3 + \sqrt{3}} $。根据上述材料，请你解答下列问题：

（1）化简：$ \frac{1}{\sqrt{5} - 2} - \frac{5}{\sqrt{5}} $。
（2）比较 $ \sqrt{7} - \sqrt{6} $ 与 $ \sqrt{6} - \sqrt{5} $ 的大小，并说明理由。

15. 解：(1)$ \frac{1}{\sqrt{5}-2}-\frac{5}{\sqrt{5}} $
$ =\frac{1×(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)}-\frac{5\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^{2}} $
$ =\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}-\sqrt{5} $
$ =\sqrt{5}+2-\sqrt{5} $
$ =2 $。
(2)$ \sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5} $，理由如下：
$ \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\frac{1×(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})×(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\sqrt{7}+\sqrt{6} $，
$ \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{1×(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})×(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5} $。
$ \because \sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5} $，
$ \therefore \sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5} $。