例 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点，将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 折叠后得到 $△ AFE$，点 $F$ 在矩形 $ABCD$ 内部，延长 $AF$ 交 $CD$ 于点 $G$.

(1) 猜想线段 $GF$ 与 $GC$ 的数量关系，并证明你的结论.
(2) 若 $AB = 3$，$AD = 4$，求线段 $GC$ 的长.
分析：矩形折叠问题，需要找准折叠前后的对应关系，常需要结合勾股定理列方程解答.
解：(1)$GF = GC$. 证明如下：如图，连接 $GE$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BE = EC$.
$\because △ ABE$ 沿 $AE$ 折叠后得到 $△ AFE$，
$\therefore BE = EF$. $\therefore EF = EC$.
$\because$ 在 $Rt△ GFE$ 和 $Rt△ GCE$ 中，$\begin{cases}EG = EG,\\EF = EC,\end{cases}$
$\therefore Rt△ GFE≌ Rt△ GCE(HL)$.
$\therefore GF = GC$.
(2) 设 $GC = x$，则 $AG = 3 + x$，$DG = 3 - x$.
在 $Rt△ ADG$ 中，$4^{2}+(3 - x)^{2}=(3 + x)^{2}$，
解得 $x = \dfrac{4}{3}$. 故 $GC$ 的长为 $\dfrac{4}{3}$.

解：(1)$GF = GC$. 证明如下：
连接 $GE$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BE = EC$.
$\because △ABE$ 沿 $AE$ 折叠后得到 $△AFE$，
$\therefore BE = EF$，$∠ GFE = ∠ B = 90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore ∠ C = 90°$，
$\therefore EF = EC$，$∠ GFE = ∠ C$.
在 $Rt△GFE$ 和 $Rt△GCE$ 中，
$\begin{cases}EG = EG\\EF = EC\end{cases}$
$\therefore Rt△GFE ≌ Rt△GCE(HL)$.
$\therefore GF = GC$.
(2) 设 $GC = x$，则 $GF = x$.
$\because$ 矩形 $ABCD$ 中，$AB = CD = 3$，$AD = 4$，$AF = AB = 3$，
$\therefore DG = 3 - x$，$AG = 3 + x$.
在 $Rt△ADG$ 中，由勾股定理得：
$AD^2 + DG^2 = AG^2$，
即 $4^2 + (3 - x)^2 = (3 + x)^2$，
解得 $x = \dfrac{4}{3}$.
故 $GC$ 的长为 $\dfrac{4}{3}$.