11. 如图，点$A$，$B$为定点，定直线$l// AB$，$P$是$l$上一动点，点$M$，$N$分别为$PA$，$PB$的中点，则下列各值：①线段$MN$的长；②$△ PAB$的周长；③$△ PMN$的面积；④直线$MN$，$AB$之间的距离；⑤$∠ APB$的大小. 其中会随点$P$的移动而变化的是().

A.②③
B.②⑤
C.①③④
D.④⑤

B

1. 由三角形中位线定理，M、N为PA、PB中点，故MN是△PAB的中位线，可得$MN// AB$，$MN=\frac{1}{2}AB$。
2. 分析各值：
①线段$MN$的长：$AB$为定值，故$MN$长不变；
②$△PAB$的周长：$AB$为定值，$PA$、$PB$的长度随点$P$移动变化，故周长变化；
③$△PMN$的面积：$MN$长不变，点$P$到$MN$的距离为定值（$l// AB// MN$，距离固定），故面积不变；
④直线$MN$、$AB$之间的距离：该距离为$l$与$AB$距离的一半，是定值，故不变；
⑤$∠APB$的大小：点$P$移动时，$PA$、$PB$的位置变化，故$∠APB$大小变化。
3. 综上，随点$P$移动而变化的是②⑤。

12. （1）如图①，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，连接$FE$并延长，分别与$BA$，$CD$的延长线交于点$M$，$N$，则$∠ BME=∠ CNE$，求证$AB = CD$.（提示：连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$FH$，$HE$）
（2）如图②，在$△ ABC$中，$O$是$BC$边的中点，$D$是$AC$边上一点，$E$是$AD$的中点，直线$OE$交$BA$的延长线于点$G$. 若$AB = DC = 5$，$∠ OEC = 60°$，求$OE$的长度.

（1）证明：
连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HE$、$HF$。
∵$E$是$AD$的中点，$H$是$BD$的中点，
∴$HE$是$△ ABD$的中位线，
∴$HE// AB$，$HE=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠ BME=∠ HEF$。
∵$F$是$BC$的中点，$H$是$BD$的中点，
∴$HF$是$△ BCD$的中位线，
∴$HF// CD$，$HF=\frac{1}{2}CD$，
∴$∠ CNE=∠ HFE$。
∵$∠ BME=∠ CNE$，
∴$∠ HEF=∠ HFE$，
∴$HE=HF$，
∴$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$AB=CD$。
（2）解：
连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$EH$、$OH$。
∵$E$是$AD$的中点，$H$是$BD$的中点，
∴$EH$是$△ ABD$的中位线，
∴$EH// AB$，$EH=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
∵$O$是$BC$的中点，$H$是$BD$的中点，
∴$OH$是$△ BCD$的中位线，
∴$OH// CD$，$OH=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2}$，
∴$EH=OH$，
∴$∠ OEH=∠ EOH$。
∵$OH// CD$，
∴$∠ EOH=∠ OEC=60°$，
∴$∠ OEH=∠ EOH=60°$，
∴$△ EOH$是等边三角形，
∴$OE=EH=\frac{5}{2}$。

13. 如图，点$A$，$B$的坐标分别为$(2,0)$，$(0,2)$，点$P$在线段$OA$之间运动，$BP⊥ PM$，$BP = PM$，$C$为$x$轴负半轴上一定点，连接$CM$，$N$为$CM$的中点. 当点$P$从点$O$运动至点$A$时，点$N$运动的路径长是.

$\sqrt{2}$

1. 确定特殊位置的M点坐标：
当P在O(0,0)时，由△BOP≌△PDM，得M(2,0)；
当P在A(2,0)时，由△BAP≌△PDM，得M(4,2)。
2. 分析M的轨迹：P从O到A时，M的轨迹为线段，长度为$\sqrt{(4-2)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$。
3. 推导N的路径：N是CM中点，C为定点，故N的路径长度为M轨迹长度的一半，即$2\sqrt{2}÷2=\sqrt{2}$。