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1. 在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$. 下列结论中不一定成立的是().
A.$AB// CD$
B.$OA = OC$
C.$AC = BD$
D.$AC⊥ BD$
A.$AB// CD$
B.$OA = OC$
C.$AC = BD$
D.$AC⊥ BD$
答案
D
解析
矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的性质：对边平行（A成立），对角线互相平分（B成立）；矩形的对角线相等（C成立）；矩形的对角线不一定垂直，仅当矩形为正方形时垂直，故D不一定成立。
2. 在矩形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 交于点 $O$. 若 $∠ AOB = 60°$，$AB = 3$，则 $AC$ 的长为().
A.3
B.6
C.$3\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
A.3
B.6
C.$3\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
B
解析
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AC=BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，则$OA=OB$。
又因为$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$是等边三角形，故$OA=AB=3$。
因此$AC=2OA=6$。
又因为$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$是等边三角形，故$OA=AB=3$。
因此$AC=2OA=6$。
3. 如图，点 $O$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的中点，$M$ 是 $CD$ 边的中点. 若 $AB = 8$，$OM = 3$，则线段 $OB$ 的长为().
A.5
B.6
C.8
D.1
A.5
B.6
C.8
D.1
答案
A
解析
1. 因为O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是CD边的中点，所以OM是△ACD的中位线。
2. 根据三角形中位线定理，得AD=2OM=2×3=6。
3. 在矩形ABCD中，CD=AB=8，∠D=90°，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
4. 矩形的对角线相等且互相平分，故$OB=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 根据三角形中位线定理，得AD=2OM=2×3=6。
3. 在矩形ABCD中，CD=AB=8，∠D=90°，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
4. 矩形的对角线相等且互相平分，故$OB=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
4. 在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$∠ OAD = 65°$，则 $∠ ODC$ 的度数是度.
答案
25
解析
在矩形$ABCD$中，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得$OA=OD$，则$△ OAD$为等腰三角形，故$∠ ODA=∠ OAD=65°$。又因为矩形的内角$∠ ADC=90°$，所以$∠ ODC=∠ ADC - ∠ ODA=90°-65°=25°$。
5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 是矩形，$AB = 4$，$AD = 6$，$AB// x$ 轴，已知点 $A(-2,-2)$，则点 $C$ 的坐标是.
答案
$(2,4)$
解析
因为四边形$ABCD$是矩形，$AB// x$轴，$AB=4$，点$A(-2,-2)$，所以点$B$的横坐标为$-2+4=2$，纵坐标为$-2$，即$B(2,-2)$；又$AD=6$，$AD⊥ AB$，故$AD// y$轴，点$D$的纵坐标为$-2+6=4$，横坐标为$-2$，即$D(-2,4)$；矩形中$C$点横坐标与$B$相同，纵坐标与$D$相同，所以点$C$的坐标为$(2,4)$。
6. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AE⊥ BD$，垂足为 $E$. 若 $AE = 3$，$DE = 3BE$，则 $CD$ 的长为.
答案
$2\sqrt{3}$
解析
设$BE=x$，则$DE=3x$，$BD=4x$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}BD=2x$，$AB=CD$，$∠ DAB=90°$。
∵$AE⊥ BD$，
∴$∠ AEB=∠ DAB=90°$，又$∠ ABE=∠ DBA$，
∴$△ ABE∽△ DBA$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BE}{AB}$，即$AB^2=BE· BD=x·4x=4x^2$。
在$Rt△ ABE$中，$AB^2=BE^2+AE^2=x^2+3^2=x^2+9$，
∴$4x^2=x^2+9$，解得$x^2=3$，
∴$AB^2=4×3=12$，$AB=2\sqrt{3}$，
∴$CD=AB=2\sqrt{3}$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}BD=2x$，$AB=CD$，$∠ DAB=90°$。
∵$AE⊥ BD$，
∴$∠ AEB=∠ DAB=90°$，又$∠ ABE=∠ DBA$，
∴$△ ABE∽△ DBA$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BE}{AB}$，即$AB^2=BE· BD=x·4x=4x^2$。
在$Rt△ ABE$中，$AB^2=BE^2+AE^2=x^2+3^2=x^2+9$，
∴$4x^2=x^2+9$，解得$x^2=3$，
∴$AB^2=4×3=12$，$AB=2\sqrt{3}$，
∴$CD=AB=2\sqrt{3}$。
7. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AE$ 平分 $∠ BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$. 若 $∠ ODA = 30°$，则 $∠ BOE$ 的度数为.
答案
75°
解析
1. 四边形ABCD是矩形，故∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，OA=OB，AD//BC。
2. 由∠ODA=30°，得∠OAD=∠ODA=30°，则∠ABD=90°-30°=60°，因此△AOB是等边三角形，AB=OB，∠ABO=60°。
3. AE平分∠BAD，故∠BAE=45°，在Rt△ABE中，∠BEA=45°，得AB=BE，因此OB=BE。
4. ∠OBE=∠ABC - ∠ABO=90°-60°=30°，在等腰△BOE中，∠BOE=(180°-30°)÷2=75°。
2. 由∠ODA=30°，得∠OAD=∠ODA=30°，则∠ABD=90°-30°=60°，因此△AOB是等边三角形，AB=OB，∠ABO=60°。
3. AE平分∠BAD，故∠BAE=45°，在Rt△ABE中，∠BEA=45°，得AB=BE，因此OB=BE。
4. ∠OBE=∠ABC - ∠ABO=90°-60°=30°，在等腰△BOE中，∠BOE=(180°-30°)÷2=75°。
8. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 为边 $CD$ 上任意一点(不与点 $C$，$D$ 重合)，过点 $E$ 作 $EF⊥ BD$，$EG⊥ AC$，垂足分别为 $F$，$G$. 若 $AB = 8$，$BC = 6$，则 $EF + EG$ 的值为.
答案
$\frac{24}{5}$
解析
1. 在矩形$ABCD$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得$AC=BD=\sqrt{8^2+6^2}=10$，因此$OC=OD=\frac{1}{2}×10=5$；
2. 矩形面积$S=AB× BC=8×6=48$，故$S_{△ OCD}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}×48=12$；
3. 连接$OE$，由$S_{△ OCD}=S_{△ ODE}+S_{△ OCE}$，代入面积公式得：
$12=\frac{1}{2}× OD× EF+\frac{1}{2}× OC× EG$，将$OD=OC=5$代入，
$12=\frac{5}{2}(EF+EG)$，解得$EF+EG=\frac{24}{5}$。
2. 矩形面积$S=AB× BC=8×6=48$，故$S_{△ OCD}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}×48=12$；
3. 连接$OE$，由$S_{△ OCD}=S_{△ ODE}+S_{△ OCE}$，代入面积公式得：
$12=\frac{1}{2}× OD× EF+\frac{1}{2}× OC× EG$，将$OD=OC=5$代入，
$12=\frac{5}{2}(EF+EG)$，解得$EF+EG=\frac{24}{5}$。
