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5. 一个等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$和$5\sqrt{2}$，那么这个三角形的周长是()。
A.$4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3} + 10\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$或$2\sqrt{3} + 10\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3} + 10\sqrt{2}$
A.$4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3} + 10\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$或$2\sqrt{3} + 10\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3} + 10\sqrt{2}$
答案
B
解析
分两种情况讨论：
1. 若腰长为$2\sqrt{3}$，则三边长为$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$5\sqrt{2}$。
计算得$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，通过平方比较：$(4\sqrt{3})^2=48$，$(5\sqrt{2})^2=50$，因为$48＜50$，所以$4\sqrt{3}＜5\sqrt{2}$，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况舍去。
2. 若腰长为$5\sqrt{2}$，则三边长为$5\sqrt{2}$，$5\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$。
验证三边关系：$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}=10\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，$5\sqrt{2}+2\sqrt{3}＞5\sqrt{2}$，满足三角形三边关系。
此时周长为$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
1. 若腰长为$2\sqrt{3}$，则三边长为$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$5\sqrt{2}$。
计算得$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，通过平方比较：$(4\sqrt{3})^2=48$，$(5\sqrt{2})^2=50$，因为$48＜50$，所以$4\sqrt{3}＜5\sqrt{2}$，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况舍去。
2. 若腰长为$5\sqrt{2}$，则三边长为$5\sqrt{2}$，$5\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$。
验证三边关系：$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}=10\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，$5\sqrt{2}+2\sqrt{3}＞5\sqrt{2}$，满足三角形三边关系。
此时周长为$5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$。
6. 若最简二次根式$\sqrt[a + 1]{2a + 5}$与$\sqrt{4a + b}$可以合并，则$a =$，$b =$。
答案
$a=1$，$b=3$
解析
因为最简二次根式$\sqrt[a + 1]{2a + 5}$与$\sqrt{4a + b}$可以合并，所以它们是同类二次根式，需满足：
1. 根指数相等：$a + 1 = 2$，解得$a = 1$；
2. 被开方数相等：将$a = 1$代入$2a + 5 = 4a + b$，得$2×1 + 5 = 4×1 + b$，解得$b = 3$。
1. 根指数相等：$a + 1 = 2$，解得$a = 1$；
2. 被开方数相等：将$a = 1$代入$2a + 5 = 4a + b$，得$2×1 + 5 = 4×1 + b$，解得$b = 3$。
7. 如图，在长方形$ABCD$内，两个正方形的面积分别为$2$和$18$，则图中阴影部分的面积等于。
答案
4
解析
1. 根据正方形面积求边长：面积为18的正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$；
2. 确定阴影长方形的长和宽：长为$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，宽为$\sqrt{2}$；
3. 计算阴影面积：$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$。
2. 确定阴影长方形的长和宽：长为$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，宽为$\sqrt{2}$；
3. 计算阴影面积：$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$。
8. 计算。
（1）$2\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \sqrt{8}$。
（2）$\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}$。
（1）$2\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \sqrt{8}$。
（2）$\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}$。
答案
解：
（1）$2\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \sqrt{8}$
$=2×\dfrac{\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{2}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}$
$=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
（2）$\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=-\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
（1）$2\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \sqrt{8}$
$=2×\dfrac{\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{2}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}$
$=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
（2）$\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=-\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
9. 计算。
（1）$3\sqrt{90} + \sqrt{\dfrac{2}{5}} - 4\sqrt{\dfrac{1}{40}}$。
（2）$2\sqrt{25a} - \dfrac{3}{a}\sqrt{a^{3}} + 5\sqrt{36a} - 2a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$。
（1）$3\sqrt{90} + \sqrt{\dfrac{2}{5}} - 4\sqrt{\dfrac{1}{40}}$。
（2）$2\sqrt{25a} - \dfrac{3}{a}\sqrt{a^{3}} + 5\sqrt{36a} - 2a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$。
答案
解：
（1）$3\sqrt{90} + \sqrt{\dfrac{2}{5}} - 4\sqrt{\dfrac{1}{40}}$
$=3×3\sqrt{10}+\dfrac{\sqrt{10}}{5}-4×\dfrac{\sqrt{10}}{20}$
$=9\sqrt{10}+\dfrac{\sqrt{10}}{5}-\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
$=9\sqrt{10}$
（2）$2\sqrt{25a} - \dfrac{3}{a}\sqrt{a^{3}} + 5\sqrt{36a} - 2a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$
$=2×5\sqrt{a}-\dfrac{3}{a}× a\sqrt{a}+5×6\sqrt{a}-2a×\dfrac{\sqrt{a}}{a}$
$=10\sqrt{a}-3\sqrt{a}+30\sqrt{a}-2\sqrt{a}$
$=(10-3+30-2)\sqrt{a}$
$=35\sqrt{a}$
（1）$3\sqrt{90} + \sqrt{\dfrac{2}{5}} - 4\sqrt{\dfrac{1}{40}}$
$=3×3\sqrt{10}+\dfrac{\sqrt{10}}{5}-4×\dfrac{\sqrt{10}}{20}$
$=9\sqrt{10}+\dfrac{\sqrt{10}}{5}-\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
$=9\sqrt{10}$
（2）$2\sqrt{25a} - \dfrac{3}{a}\sqrt{a^{3}} + 5\sqrt{36a} - 2a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$
$=2×5\sqrt{a}-\dfrac{3}{a}× a\sqrt{a}+5×6\sqrt{a}-2a×\dfrac{\sqrt{a}}{a}$
$=10\sqrt{a}-3\sqrt{a}+30\sqrt{a}-2\sqrt{a}$
$=(10-3+30-2)\sqrt{a}$
$=35\sqrt{a}$
10. 化简$a\sqrt{\dfrac{1}{a}} - \sqrt{4b} - \sqrt{9a} + 2b\sqrt{\dfrac{1}{b}}$的结果是。
答案
$-2\sqrt{a}$
解析
由二次根式有意义的条件可知$a＞0$，$b＞0$，利用二次根式的性质化简各项：
$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a}$，$\sqrt{4b}=2\sqrt{b}$，$\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$，$2b\sqrt{\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{b}$；
代入原式得：$\sqrt{a}-2\sqrt{b}-3\sqrt{a}+2\sqrt{b}$，合并同类二次根式得$-2\sqrt{a}$。
$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a}$，$\sqrt{4b}=2\sqrt{b}$，$\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$，$2b\sqrt{\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{b}$；
代入原式得：$\sqrt{a}-2\sqrt{b}-3\sqrt{a}+2\sqrt{b}$，合并同类二次根式得$-2\sqrt{a}$。
11. 已知$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$，求$4x^{2} + 4x - 1$的值。
答案
解：
∵ $ x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $
∴ $ 2x = \sqrt{5} - 1 $
∴ $ 2x + 1 = \sqrt{5} $
两边平方得：$ (2x + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 $
展开得：$ 4x^2 + 4x + 1 = 5 $
移项得：$ 4x^2 + 4x = 4 $
将$ 4x^2 + 4x = 4 $代入$ 4x^2 + 4x - 1 $得：
$ 4 - 1 = 3 $
最终结论：$ 4x^2 + 4x - 1 $的值为3。
∵ $ x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $
∴ $ 2x = \sqrt{5} - 1 $
∴ $ 2x + 1 = \sqrt{5} $
两边平方得：$ (2x + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 $
展开得：$ 4x^2 + 4x + 1 = 5 $
移项得：$ 4x^2 + 4x = 4 $
将$ 4x^2 + 4x = 4 $代入$ 4x^2 + 4x - 1 $得：
$ 4 - 1 = 3 $
最终结论：$ 4x^2 + 4x - 1 $的值为3。
