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例 若矩形的长为 $ 2\sqrt{50} $，宽为 $ 3\sqrt{18} $，求矩形的周长和面积.
分析：结合几何知识，熟练进行二次根式的加减和乘除运算.
解：矩形的周长：$ 2×(2\sqrt{50}+3\sqrt{18}) = 2×(10\sqrt{2}+9\sqrt{2}) = 38\sqrt{2} $.
矩形的面积：$ 2\sqrt{50}×3\sqrt{18} = 10\sqrt{2}×9\sqrt{2} = 180 $.
分析：结合几何知识，熟练进行二次根式的加减和乘除运算.
解：矩形的周长：$ 2×(2\sqrt{50}+3\sqrt{18}) = 2×(10\sqrt{2}+9\sqrt{2}) = 38\sqrt{2} $.
矩形的面积：$ 2\sqrt{50}×3\sqrt{18} = 10\sqrt{2}×9\sqrt{2} = 180 $.
答案
解：
矩形的周长：
$2×(2\sqrt{50}+3\sqrt{18})$
$=2×(2×5\sqrt{2}+3×3\sqrt{2})$
$=2×(10\sqrt{2}+9\sqrt{2})$
$=2×19\sqrt{2}$
$=38\sqrt{2}$
矩形的面积：
$2\sqrt{50}×3\sqrt{18}$
$=(2×5\sqrt{2})×(3×3\sqrt{2})$
$=10\sqrt{2}×9\sqrt{2}$
$=90×(\sqrt{2}×\sqrt{2})$
$=90×2$
$=180$
矩形的周长：
$2×(2\sqrt{50}+3\sqrt{18})$
$=2×(2×5\sqrt{2}+3×3\sqrt{2})$
$=2×(10\sqrt{2}+9\sqrt{2})$
$=2×19\sqrt{2}$
$=38\sqrt{2}$
矩形的面积：
$2\sqrt{50}×3\sqrt{18}$
$=(2×5\sqrt{2})×(3×3\sqrt{2})$
$=10\sqrt{2}×9\sqrt{2}$
$=90×(\sqrt{2}×\sqrt{2})$
$=90×2$
$=180$
1. 计算 $ (5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45})÷(-\sqrt{5}) $ 的结果为().
A.7
B.$ -5 $
C.5
D.$ -7 $
A.7
B.$ -5 $
C.5
D.$ -7 $
答案
C
解析
1. 化简二次根式：
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}} = 5×\dfrac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$，
$2\sqrt{45} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$；
2. 代入原式得：$(\sqrt{5} - 6\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})$；
3. 计算括号内的差：$\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$；
4. 计算除法：$(-5\sqrt{5})÷(-\sqrt{5}) = 5$。
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}} = 5×\dfrac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$，
$2\sqrt{45} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$；
2. 代入原式得：$(\sqrt{5} - 6\sqrt{5})÷(-\sqrt{5})$；
3. 计算括号内的差：$\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$；
4. 计算除法：$(-5\sqrt{5})÷(-\sqrt{5}) = 5$。
2. 下列计算正确的是().
A.$ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} $
B.$ \sqrt{(-3)^2}-\sqrt[3]{8}=-6 $
C.$ \sqrt{3}-\sqrt{2}=1 $
D.$ \sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{3} $
A.$ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} $
B.$ \sqrt{(-3)^2}-\sqrt[3]{8}=-6 $
C.$ \sqrt{3}-\sqrt{2}=1 $
D.$ \sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{3} $
答案
D
解析
A选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B选项：$\sqrt{(-3)^2}=3$，$\sqrt[3]{8}=2$，$3-2=1≠-6$，故B错误；
C选项：$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$，故D正确。
B选项：$\sqrt{(-3)^2}=3$，$\sqrt[3]{8}=2$，$3-2=1≠-6$，故B错误；
C选项：$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$，故D正确。
3. 计算 $ \sqrt{12}-\sqrt{12}×\sqrt{\dfrac{1}{4}} $ 的结果是().
A.0
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{3} $
D.$ \dfrac{1}{2} $
A.0
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{3} $
D.$ \dfrac{1}{2} $
答案
B
解析
1. 化简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
2. 计算乘法：$\sqrt{12}×\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\sqrt{12×\dfrac{1}{4}}=\sqrt{3}$；
3. 计算减法：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
2. 计算乘法：$\sqrt{12}×\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\sqrt{12×\dfrac{1}{4}}=\sqrt{3}$；
3. 计算减法：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
4. 已知 $ a = \sqrt{3}+2 $，$ b = \sqrt{3}-2 $，则 $ a^2 + b^2 $ 的值为().
A.14
B.$ 4\sqrt{3} $
C.$ \sqrt{14} $
D.$ 14 + 4\sqrt{3} $
A.14
B.$ 4\sqrt{3} $
C.$ \sqrt{14} $
D.$ 14 + 4\sqrt{3} $
答案
A
解析
利用完全平方公式变形：$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$。
1. 计算$a+b$：$a+b=(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{3}-2)=2\sqrt{3}$；
2. 计算$ab$：$ab=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4=-1$；
3. 代入公式：$(2\sqrt{3})^2 - 2×(-1)=12+2=14$。
1. 计算$a+b$：$a+b=(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{3}-2)=2\sqrt{3}$；
2. 计算$ab$：$ab=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4=-1$；
3. 代入公式：$(2\sqrt{3})^2 - 2×(-1)=12+2=14$。
5. 计算 $ (\sqrt{3}-2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)^{2025} $ 的结果为.
答案
$2-\sqrt{3}$
解析
1. 拆分指数，将原式变形：
$(\sqrt{3}-2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)^{2025}=(\sqrt{3}-2)^{2025}×(\sqrt{3}-2)×(\sqrt{3}+2)^{2025}$；
2. 利用积的乘方逆运算：
$=[(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)]^{2025}×(\sqrt{3}-2)$；
3. 用平方差公式计算括号内的部分：
$(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$；
4. 计算最终结果：
$(-1)^{2025}×(\sqrt{3}-2)=-1×(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$。
$(\sqrt{3}-2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)^{2025}=(\sqrt{3}-2)^{2025}×(\sqrt{3}-2)×(\sqrt{3}+2)^{2025}$；
2. 利用积的乘方逆运算：
$=[(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)]^{2025}×(\sqrt{3}-2)$；
3. 用平方差公式计算括号内的部分：
$(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$；
4. 计算最终结果：
$(-1)^{2025}×(\sqrt{3}-2)=-1×(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$。
6. 计算.
（1）$ (\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{2}})×(\sqrt{24}-2\sqrt{\dfrac{2}{3}}) $.
（2）$ (3+\sqrt{10})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) $.
（3）$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $.
（1）$ (\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{2}})×(\sqrt{24}-2\sqrt{\dfrac{2}{3}}) $.
（2）$ (3+\sqrt{10})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) $.
（3）$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $.
答案
解：
（1）$ (\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{2}})×(\sqrt{24}-2\sqrt{\dfrac{2}{3}}) $
$=(\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})×(2\sqrt{6}-\dfrac{2\sqrt{6}}{3})$
$=(\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})×\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\sqrt{6}×\dfrac{4\sqrt{6}}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\dfrac{24}{3}-\dfrac{4\sqrt{12}}{6}$
$=8-\dfrac{8\sqrt{3}}{6}$
$=8-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
（2）$ (3+\sqrt{10})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) $
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{10}×\sqrt{2}-\sqrt{10}×\sqrt{5}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{50}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$
$=(3\sqrt{2}-5\sqrt{2})+(-3\sqrt{5}+2\sqrt{5})$
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
（3）$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $
$=(2+2\sqrt{6}+3)-[(√2)^2-(√3)^2]$
$=(5+2\sqrt{6})-(2-3)$
$=5+2\sqrt{6}+1$
$=6+2\sqrt{6}$
（1）$ (\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{2}})×(\sqrt{24}-2\sqrt{\dfrac{2}{3}}) $
$=(\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})×(2\sqrt{6}-\dfrac{2\sqrt{6}}{3})$
$=(\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})×\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\sqrt{6}×\dfrac{4\sqrt{6}}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
$=\dfrac{24}{3}-\dfrac{4\sqrt{12}}{6}$
$=8-\dfrac{8\sqrt{3}}{6}$
$=8-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
（2）$ (3+\sqrt{10})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) $
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{10}×\sqrt{2}-\sqrt{10}×\sqrt{5}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{50}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$
$=(3\sqrt{2}-5\sqrt{2})+(-3\sqrt{5}+2\sqrt{5})$
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
（3）$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $
$=(2+2\sqrt{6}+3)-[(√2)^2-(√3)^2]$
$=(5+2\sqrt{6})-(2-3)$
$=5+2\sqrt{6}+1$
$=6+2\sqrt{6}$
