例 若两个最简二次根式$\sqrt[a + b]{b}$与$\sqrt{3a + b}$可以合并，则$a$，$b$的值分别是()。

A.$a = 0$，$b = 2$
B.$a = 1$，$b = 1$
C.$a = 0$，$b = 2$或$a = 1$，$b = 1$
D.$a = 2$，$b = 0$
分析：本题要求熟练掌握“在最简二次根式的条件下只有被开方数相同的二次根式才能进行合并”这一原则，并构建方程组求解。
解：由题意得方程组$\begin{cases}a + b = 2,\\3a + b = b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 0,\\b = 2.\end{cases}$故选 A。

A

因为两个最简二次根式可以合并，所以它们是同类二次根式，需满足：
1. 根指数相等：$a + b = 2$；
2. 被开方数相同：$3a + b = b$。
解方程组$\begin{cases}a + b = 2\\3a + b = b\end{cases}$，由$3a + b = b$得$a=0$，代入$a + b = 2$得$b=2$，验证可知此时两个根式为最简二次根式且可合并，符合条件。

1. 下列二次根式中，能与$2\sqrt{3}$合并的是()。

A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{9}$

B

判断能与$2\sqrt{3}$合并的二次根式，需先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与3相同：
A. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数为2，与3不同，不能合并；
B. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，与3相同，能合并；
C. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，与3不同，不能合并；
D. $\sqrt{9}=3$，不是同类二次根式，不能合并。
综上，能与$2\sqrt{3}$合并的是选项B。

2. 计算$\sqrt{18} - \sqrt{2}$的结果是()。

A.$4$
B.$3$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$

C

先化简二次根式，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，再计算：$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。

3. 若$5\sqrt{3} + \sqrt{y} = 6\sqrt{3}$，则$y$的值是()。

A.$\sqrt{3}$
B.$1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3$

D

移项得$\sqrt{y}=6\sqrt{3}-5\sqrt{3}$，合并同类二次根式得$\sqrt{y}=\sqrt{3}$，两边同时平方，解得$y=3$。

4. 下列各组二次根式，可以进行加减合并的一组是()。

A.$\sqrt{12}$与$\sqrt{72}$
B.$\sqrt{63}$与$\sqrt{78}$
C.$\sqrt{8x^{3}}$与$2\sqrt{2x}$
D.$\sqrt{18}$与$\sqrt{6}$

C

判断二次根式能否加减合并，需先化为最简二次根式，再看被开方数是否相同：
A选项：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，被开方数不同，不能合并；
B选项：$\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，$\sqrt{78}$为最简二次根式，被开方数不同，不能合并；
C选项：$\sqrt{8x^{3}}=2x\sqrt{2x}$，与$2\sqrt{2x}$被开方数相同，是同类二次根式，可以合并；
D选项：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$为最简二次根式，被开方数不同，不能合并。
综上，只有C选项的二次根式可以加减合并。