3. $\sqrt{\frac{8}{9}}$可化简为().

A.$\frac{\sqrt{8}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{9}$
C.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

C

根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得$\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}$；化简得$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

4. 设矩形的面积为$6\sqrt{18}$，一边长为$3\sqrt{12}$，则相邻的另一边长为().

A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

A

根据矩形面积公式，另一边长 = 面积 ÷ 已知边长。
化简二次根式：
$6\sqrt{18}=6×3\sqrt{2}=18\sqrt{2}$，$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$；
计算得另一边长为：$18\sqrt{2}÷6\sqrt{3}=(18÷6)×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3×\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$。

5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是().

A.$\sqrt{2x^{2}}$
B.$\sqrt{b^{2}+1}$
C.$\sqrt{4a}$
D.$\sqrt{\frac{1}{x}}$

B

根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析：
A. $\sqrt{2x^{2}}=|x|\sqrt{2}$，含有能开得尽方的因式$x^2$，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{b^{2}+1}$的被开方数$b^2+1$无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式；
C. $\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式。
综上，符合条件的是选项B。

6. 化简.
（1）$\sqrt{16×7}$.
（2）$\sqrt{27}$.
（3）$\sqrt{\frac{12}{25}}$.
（4）$\frac{1}{\sqrt{2}}$.

解：
（1）$\sqrt{16×7}=\sqrt{16}×\sqrt{7}=4\sqrt{7}$；
（2）$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$；
（3）$\sqrt{\frac{12}{25}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{4×3}}{5}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
（4）$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

7. 计算.
（1）$\sqrt{12}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷\sqrt{2}$.
（2）$3\sqrt{18}×\frac{\sqrt{3}}{6}÷2\sqrt{6}$.

解：
（1）$\sqrt{12}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷\sqrt{2}$
$=\frac{2×3}{4}÷\sqrt{2}$
$=\frac{3}{2}÷\sqrt{2}$
$=\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{4}$
（2）$3\sqrt{18}×\frac{\sqrt{3}}{6}÷2\sqrt{6}$
$=3×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}÷2\sqrt{6}$
$=9\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}÷2\sqrt{6}$
$=\frac{9\sqrt{6}}{6}÷2\sqrt{6}$
$=\frac{3\sqrt{6}}{2}×\frac{1}{2\sqrt{6}}$
$=\frac{3}{4}$

8. 若$y=\sqrt{3}$，则$y·\sqrt{3y}÷\sqrt{\frac{1}{y^{4}}}·\sqrt{\frac{1}{y}}$的值是().

A.$27$
B.$9\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$9$

D

根据二次根式的乘除运算法则化简原式：
原式$=y·\sqrt{3y}·\sqrt{y^4}·\sqrt{\frac{1}{y}}$
$=y·\sqrt{3y·y^4·\frac{1}{y}}$
$=y·\sqrt{3y^4}$
$=y·y^2\sqrt{3}$
$=y^3\sqrt{3}$
将$y=\sqrt{3}$代入：
$(\sqrt{3})^3·\sqrt{3}=3\sqrt{3}·\sqrt{3}=3×3=9$

9. 已知实数$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$的整数部分为$x$，小数部分为$y$，则$\frac{x+2y}{x-2y+4}$的值是.

$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$

1. 分母有理化化简：$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$；
2. 确定整数部分和小数部分：因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$0＜2-\sqrt{3}＜1$，故整数部分$x=0$，小数部分$y=2-\sqrt{3}-0=2-\sqrt{3}$；
3. 代入式子计算：
分子：$x+2y=0+2(2-\sqrt{3})=4-2\sqrt{3}$；
分母：$x-2y+4=0-2(2-\sqrt{3})+4=2\sqrt{3}$；
原式$=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{3})\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$。

10. 计算$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2}÷\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x}}·\sqrt{\frac{x-1}{x^{2}-1}}$（$0＜x＜1$）.

解：
原式$=\sqrt{(x-\frac{1}{x})^2} ÷ \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x(x - 1)}} · \sqrt{\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}}$
$\because 0＜x＜1$，$\therefore x - \frac{1}{x}＜0$，$x - 1＜0$
$\therefore \sqrt{(x-\frac{1}{x})^2}=\left|x - \frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x}-x=\frac{1 - x^2}{x}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{1 - x^2}{x} · \sqrt{\frac{x(x - 1)}{x^2 - 1} · \frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}}$
化简根号内的式子：
$\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x}{(x + 1)^2}$
$\therefore$原式$=\frac{(1 - x)(1 + x)}{x} · \sqrt{\frac{x}{(x + 1)^2}}$
$\because x + 1＞0$，$\therefore \sqrt{\frac{x}{(x + 1)^2}}=\frac{\sqrt{x}}{x + 1}$
代入并约分：
原式$=\frac{(1 - x)(1 + x)}{x} · \frac{\sqrt{x}}{x + 1}=\frac{(1 - x)\sqrt{x}}{x}$