【知识点】二次根式的加减乘除混合运算
二次根式的混合运算先乘方(或开方)、再、最后，有括号的先算括号里面的，能利用运算律或乘法公式进行运算的可适当改变运算顺序进行简便运算.
计算：$(\sqrt{2} + 1)(2 - \sqrt{2}) = $；$\sqrt{2}(\sqrt{12} - \sqrt{3}) = $；$(2\sqrt{12} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}}) ÷ 2\sqrt{3} = $.

【知识点】乘除 加减 $\sqrt{2}$         $\sqrt{6}$ 1

1
【答案】
1
【知识点】
1
【点评】
1
【难度系数】
1

【例】在一个边长为$(3\sqrt{2} + 5\sqrt{3})$cm 的正方形木板的内部挖去一个长为$(3 + \sqrt{5})$cm、宽为$(3 - \sqrt{5})$cm 的长方形，求剩余部分木板的面积.
【点拨】根据题意，由正方形面积与长方形面积作差可得剩余部分木板的面积，运用平方差公式、完全平方公式先展开，再由二次根式加减运算求解，即可得到答案.

解：$(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})^{2}-(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=(18+30\sqrt{6}+75)-(9-5)=(89+30\sqrt{6})$ $cm^{2}$。

【解析】
根据正方形面积公式$S = a^2$（$a$为边长），可得正方形木板面积为$(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})^{2}$，根据完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，则$(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})^{2}=(3\sqrt{2})^{2}+2×3\sqrt{2}×5\sqrt{3}+(5\sqrt{3})^{2}=18 + 30\sqrt{6}+75$。
根据长方形面积公式$S = ab$（$a$为长，$b$为宽），可得长方形面积为$(3+\sqrt{5})(3 - \sqrt{5})$，根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$，则$(3+\sqrt{5})(3 - \sqrt{5})=3^{2}-(\sqrt{5})^{2}=9 - 5$。
剩余部分木板面积$S=(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})^{2}-(3+\sqrt{5})(3 - \sqrt{5})=(18 + 30\sqrt{6}+75)-(9 - 5)=89 + 30\sqrt{6}(cm^{2})$。
【答案】
$(89 + 30\sqrt{6})cm^{2}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题先分别利用完全平方公式和平方差公式求出正方形与长方形面积，再通过二次根式运算得出剩余面积，考查公式运用与运算能力。
【难度系数】
0.3

1. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = 2$
C.$a^{3} · 2a^{2} = 2a^{5}$
D.$(-a^{4})^{2} = a^{6}$

1. C

【解析】
- 选项A：
$\sqrt{5}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相减，所以$\sqrt{5}-\sqrt{3}≠\sqrt{2}$，该选项错误。
- 选项B：
根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}$（$a≥0,b＞0$），则$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}≠2$，该选项错误。
- 选项C：
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n = a^{m + n}$，则$a^{3}·2a^{2}=(1×2)× a^{3 + 2}=2a^{5}$，该选项正确。
- 选项D：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n = a^{mn}$，则$(-a^{4})^{2}=(-1)^2×(a^{4})^{2}=a^{4×2}=a^{8}≠ a^{6}$，该选项错误。
综上，答案是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算、同底数幂乘法、幂的乘方
【点评】
本题主要考查了二次根式运算以及幂的运算相关知识，需要准确掌握各类运算法则来判断选项的正确性。
【难度系数】
0.6

2. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{6} - \sqrt{4} = \sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5} × 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
C.$(3 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10}) = 1$
D.$\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$

2. D

【解析】
- 选项A：
$\sqrt{6}-\sqrt{4}=\sqrt{6}-2≠\sqrt{2}$，所以选项A错误。
- 选项B：
$2\sqrt{5}×3\sqrt{5}=(2×3)×(\sqrt{5}×\sqrt{5}) = 6×5 = 30≠6\sqrt{5}$，所以选项B错误。
- 选项C：
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，则$(3-\sqrt{10})(3+\sqrt{10})=3^{2}-(\sqrt{10})^{2}=9 - 10=-1≠1$，所以选项C错误。
- 选项D：
$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，所以选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式
【点评】
本题主要考查二次根式的运算及平方差公式的应用，需要对每个选项进行准确计算判断。
【难度系数】
0.6

3. 若$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，则$ab$的值是()

A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$5$

3. B

【解析】
已知$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，则$ab = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$
$=3 - 2$
$= 1$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、二次根式乘法
【点评】
本题通过代入$a$、$b$的值，运用平方差公式进行计算，考查对公式的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7