7. 小明参加跳远比赛，他从地面踏板 $ P $ 处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为 $ A,B $，小明未站稳，一只手撑到沙坑点 $ C $，则跳远成绩测量正确的图是()。

D

跳远成绩是从起跳点P到落沙坑后身体最近点的垂线段长度。图中A、B为脚后跟接触点，C为手撑点，C点比A、B更靠近P。选项D中PC垂直于踏板，符合垂线段最短原理，测量的是P到C的垂直距离，为正确成绩。

8. 如图，$ AB ⊥ BC $，$ BD ⊥ AC $，垂足分别为 $ B,D $。若 $ BC = 6 \mathrm{cm} $，$ AB = 8 \mathrm{cm} $，$ AC = 10 \mathrm{cm} $。则点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离是，点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离是，点 $ B $ 到 $ AC $ 的距离是。

$8 \mathrm{cm}$；$6 \mathrm{cm}$；$4.8 \mathrm{cm}$

1. 点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离：
由于 $ AB ⊥ BC $，所以点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离就是线段 $ AB $ 的长度，即 $ 8 \mathrm{cm} $。
2. 点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离：
由于 $ AB ⊥ BC $，所以点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离就是线段 $ BC $ 的长度，即 $ 6 \mathrm{cm} $。
3. 点 $ B $ 到 $ AC $ 的距离：
利用三角形面积公式，$\bigtriangleup ABC$的面积为：
$ \mathrm{面积} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 \mathrm{cm}^2 $。
又因为$ \bigtriangleup ABC$的面积为：
$ \mathrm{面积} = \frac{1}{2} × AC × BD $，
其中 $ AC = 10 \mathrm{cm} $，$ BD $ 为点 $ B $ 到 $ AC $ 的垂直距离。
因此，$ 24 = \frac{1}{2} × 10 × BD $，
解得：
$ BD = 4.8 \mathrm{cm} $。
所以点 $ B $ 到 $ AC $ 的距离为 $ 4.8 \mathrm{cm} $。

9. (易错题) 若点 $ P $ 为直线 $ l $ 外一定点，点 $ A $ 为直线 $ l $ 上一定点，且 $ PA = 2 $，点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ d $，则 $ d $ 的取值范围是()。

A.$ 0 ＜ d ＜ 2 $
B.$ d = 2 $ 或 $ d ＞ 2 $
C.$ 0 ＜ d ＜ 2 $ 或 $ d = 0 $
D.$ 0 ＜ d ＜ 2 $ 或 $ d = 2 $

D

本题可根据点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质来确定$d$的取值范围。
点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度。
已知点$P$为直线$l$外一定点，点$P$到直线$l$的距离$d$是点$P$到直线$l$的垂线段的长度。
当$PA⊥ l$时，此时点$P$到直线$l$的距离$d$就等于$PA$的长度，因为$PA = 2$，所以$d = 2$。
当$PA$不垂直直线$l$时，根据垂线段最短可知，点$P$到直线$l$的距离$d$一定小于$PA$的长度，因为$PA = 2$，所以$0＜ d＜ 2$。
综合以上两种情况，$d$的取值范围是$0＜ d≤ 2$（即$0 ＜ d ＜ 2$ 或 $d = 2$）。

10. 下列说法中，正确的有()。
① 互为补角的两角的平分线互相垂直；
② 在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交；
③ 两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线互相垂直；
④ 画一条射线的垂线，垂足一定落在这条射线上。

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

A

①互为补角的两角不一定是邻补角，只有邻补角的平分线才互相垂直，故①错误；②在同一平面内，线段有端点，两条互相垂直的线段可能不相交，但它们所在的直线无限延伸，一定相交，故②正确；③对顶角相等，若一对对顶角互余，则每个角为45°，两条直线相交形成的角不是90°，不垂直，故③错误；④画射线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上（不在射线上），故④错误。综上，正确的只有1个。

11. (易错题) 已知 $ OA ⊥ OC $，过点 $ O $ 作射线 $ OB $，且 $ ∠ AOB = 45° $，则 $ ∠ BOC $ 的度数为。

$45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$

因为 $OA ⊥ OC$，所以 $∠ AOC = 90°$。分两种情况：
1. 射线 $OB$ 在 $∠ AOC$ 内部时，$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 90° - 45° = 45°$；
2. 射线 $OB$ 在 $∠ AOC$ 外部时，$∠ BOC = ∠ AOC + ∠ AOB = 90° + 45° = 135°$。
综上，$∠ BOC$ 的度数为 $45°$ 或 $135°$。

12. 如图，直线 $ AB,CD $ 相交于点 $ O $，$ OM ⊥ AB $ 于点 $ O $。
(1) 若 $ ∠ BOC = 4 ∠ AOC $，求 $ ∠ BOD $ 的度数；
(2) 若 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，请判断 $ ON $ 与 $ CD $ 的位置关系，并说明理由。

(1) 因为直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，所以 $∠ AOC + ∠ BOC = 180°$。
又因为 $∠ BOC = 4∠ AOC$，设 $∠ AOC = x$，则 $∠ BOC = 4x$。
所以 $x + 4x = 180°$，解得 $x = 36°$，即 $∠ AOC = 36°$。
因为 $∠ BOD$ 与 $∠ AOC$ 是对顶角，所以 $∠ BOD = ∠ AOC = 36°$。
(2) $ON ⊥ CD$。理由如下：
因为 $OM ⊥ AB$，所以 $∠ AOM = 90°$，即 $∠ 1 + ∠ AOC = 90°$。
又因为 $∠ 1 = ∠ 2$，所以 $∠ 2 + ∠ AOC = 90°$，即 $∠ CON = 90°$。
因此，$ON ⊥ CD$。

13. (几何直观、推理能力) 如图，$ OA ⊥ OD $，$ OB $ 是 $ ∠ AOD $ 内的一条射线，$ OD $ 为 $ ∠ BOC $ 的平分线，$ OE $ 为射线 $ OB $ 的反向延长线。
(1) 若 $ ∠ AOB = 60° $，则 $ ∠ COE = $$ ° $；
(2) 若 $ ∠ COE = 140° $，则 $ ∠ AOB = $$ ° $；
(3) 写出 $ ∠ AOB $ 与 $ ∠ COE $ 之间的数量关系，并说明理由。

120；70；∠COE=2∠AOB

(1)∵OA⊥OD，∴∠AOD=90°。∵∠AOB=60°，∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°-60°=30°。∵OD平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOD=60°。∵OE是OB反向延长线，∴∠BOE=180°，∴∠COE=∠BOE-∠BOC=180°-60°=120°。
(2)设∠AOB=x，∵OA⊥OD，∴∠BOD=90°-x。∵OD平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOD=2(90°-x)=180°-2x。∵OE是OB反向延长线，∠COE=140°，∴∠COE=∠BOE-∠BOC=180°-(180°-2x)=2x=140°，∴x=70°，即∠AOB=70°。
(3)∠COE=2∠AOB。理由：设∠AOB=α，∠BOD=90°-α，∠BOC=2∠BOD=180°-2α，∠COE=∠BOE-∠BOC=180°-(180°-2α)=2α，故∠COE=2∠AOB。