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2. 如图，直线 $ AB $ 和 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE ⊥ OC $。若 $ ∠ EOB = 46° $，则 $ ∠ AOD $ 的度数为()。
A.$ 124° $
B.$ 146° $
C.$ 134° $
D.$ 136° $
A.$ 124° $
B.$ 146° $
C.$ 134° $
D.$ 136° $
答案
C
解析
因为OE⊥OC，所以∠COE=90°。又因为∠EOB=46°，所以∠COB=∠COE+∠EOB=90°+46°=134°。由于∠AOD与∠COB是对顶角，对顶角相等，所以∠AOD=∠COB=134°。
3. 如图，在同一平面内，过点 $ A $ 作直线 $ l $ 的垂线，可作条。
答案
1
解析
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以过点A作直线l的垂线，可作1条。
4. 如图，直线 $ AB,EF $ 相交于点 $ C $，$ CD ⊥ AB $，$ CE $ 平分 $ ∠ BCD $，则 $ ∠ ACF = $$ ° $。
答案
45
解析
因为 $ CD ⊥ AB $，所以 $ ∠ BCD = 90° $。
因为 $ CE $ 平分 $ ∠ BCD $，所以 $ ∠ BCE = \frac{1}{2} ∠ BCD = 45° $。
因为 $ AB $ 与 $ EF $ 相交于点 $ C $，所以 $ ∠ ACF = ∠ BCE = 45° $（对顶角相等）。
因为 $ CE $ 平分 $ ∠ BCD $，所以 $ ∠ BCE = \frac{1}{2} ∠ BCD = 45° $。
因为 $ AB $ 与 $ EF $ 相交于点 $ C $，所以 $ ∠ ACF = ∠ BCE = 45° $（对顶角相等）。
5. 如图，直线 $ CD,EF $ 相交于点 $ O $，$ OA ⊥ OB $。若 $ ∠ AOE = 57° $，$ ∠ COF = 86° $，求 $ ∠ BOD $ 的度数。
答案
∵直线CD,EF相交于点O，∴∠COF=∠DOE（对顶角相等）。
∵∠COF=86°，∴∠DOE=86°。
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°。
∵∠AOE=57°，∴∠BOE=∠AOB - ∠AOE=90° - 57°=33°。
∵∠DOE=∠DOB + ∠BOE，∴∠DOB=∠DOE - ∠BOE=86° - 33°=53°。
即∠BOD=53°。
∵∠COF=86°，∴∠DOE=86°。
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°。
∵∠AOE=57°，∴∠BOE=∠AOB - ∠AOE=90° - 57°=33°。
∵∠DOE=∠DOB + ∠BOE，∴∠DOB=∠DOE - ∠BOE=86° - 33°=53°。
即∠BOD=53°。
1. 过直线 $ m $ 外的一点 $ Q $ 作 $ m $ 的垂线，下列图中直角三角尺操作正确的是()。
答案
B
解析
过直线外一点作已知直线的垂线，需用直角三角尺的一条直角边与直线m重合，另一条直角边过点Q，沿此直角边画直线。图A中三角尺直角边未与直线m完全重合；图B中三角尺一条直角边与直线m重合，另一条直角边过点Q，操作正确。
2. (2024 北京) 如图，直线 $ AB $ 和 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE ⊥ OC $。若 $ ∠ AOC = 58° $，则 $ ∠ EOB $ 的大小为()。
A.$ 29° $
B.$ 32° $
C.$ 45° $
D.$ 58° $
A.$ 29° $
B.$ 32° $
C.$ 45° $
D.$ 58° $
答案
B
解析
已知$ ∠AOC = 58° $，根据直线相交的性质，$ ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 58° = 122° $。
由于$ OE ⊥ OC $，所以$ ∠COE = 90° $。
因此$ ∠EOB = ∠BOC - ∠COE = 122° - 90° = 32° $。
由于$ OE ⊥ OC $，所以$ ∠COE = 90° $。
因此$ ∠EOB = ∠BOC - ∠COE = 122° - 90° = 32° $。
3. 如图，$ AO ⊥ OB $ 于点 $ O $，$ ∠ AOB : ∠ BOC = 3 : 2 $，则 $ ∠ AOC = $。
答案
150°
解析
因为 $ AO ⊥ OB $，所以 $ ∠ AOB = 90° $。设 $ ∠ AOB = 3x $，$ ∠ BOC = 2x $，则 $ 3x = 90° $，解得 $ x = 30° $。所以 $ ∠ BOC = 2x = 60° $。由图可知 $ ∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 90° + 60° = 150° $。
4. 如图，已知 $ ∠ AOB $ 和 $ OA $ 上一点 $ P $，用三角尺按下列语句画图：
(1) 过点 $ P $ 画 $ PC ⊥ OA $，交 $ OB $ 于点 $ C $；
(2) 过点 $ P $ 画 $ PD ⊥ OB $，垂足是 $ D $。
(1) 过点 $ P $ 画 $ PC ⊥ OA $，交 $ OB $ 于点 $ C $；
(2) 过点 $ P $ 画 $ PD ⊥ OB $，垂足是 $ D $。
答案
(1) 步骤：
将三角尺的一条直角边与 $OA$ 重合，沿 $OA$ 移动三角尺使另一条直角边经过点 $P$，沿此直角边画直线 $PC$，$PC$ 与 $OB$ 相交于点 $C$，则 $PC \bot OA$。
(2) 步骤：
将三角尺的一条直角边与 $OB$ 重合，沿 $OB$ 移动三角尺使另一条直角边经过点 $P$，沿此直角边画直线 $PD$，$PD$ 与 $OB$ 相交于点 $D$，则 $PD \bot OB$，垂足为 $D$。
将三角尺的一条直角边与 $OA$ 重合，沿 $OA$ 移动三角尺使另一条直角边经过点 $P$，沿此直角边画直线 $PC$，$PC$ 与 $OB$ 相交于点 $C$，则 $PC \bot OA$。
(2) 步骤：
将三角尺的一条直角边与 $OB$ 重合，沿 $OB$ 移动三角尺使另一条直角边经过点 $P$，沿此直角边画直线 $PD$，$PD$ 与 $OB$ 相交于点 $D$，则 $PD \bot OB$，垂足为 $D$。
5. 如图，在一张白纸上画一条直线 $ l $，在 $ l $ 外任取一点 $ Q $ 并折出过点 $ Q $ 且与直线 $ l $ 垂直的直线，这样的直线能折出()。
A.$ 0 $ 条
B.$ 1 $ 条
C.$ 2 $ 条
D.$ 3 $ 条
A.$ 0 $ 条
B.$ 1 $ 条
C.$ 2 $ 条
D.$ 3 $ 条
答案
B
解析
根据垂线的性质，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。点Q在直线l外，所以过点Q且与直线l垂直的直线只能折出1条。
6. 如图，一条河宽度不变，过点 $ P $ 在河两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是线段，理由是。
答案
PN；垂线段最短
解析
因为河两岸可看作两条平行线，点P到对岸的最短距离是垂线段的长度，图中PN是垂线段，所以搭建方式最短的是线段PN，理由是垂线段最短。
