7. 计算：
（1）$(1 + x)^2$；
（2）$(2x - 3y)^2$；
（3）$(-\dfrac{3}{2}m + 2n)^2$；
（4）$(-x - 4y)^2$；
（5）$(2x - y)(y - 2x)$；
（6）$(x - 2)^2 + (x + 3)(x + 1)$.

（1）$(1 + x)^2$
$= 1^2 + 2 · 1 · x + x^2$
$= 1 + 2x + x^2$
（2）$(2x - 3y)^2$
$= (2x)^2 - 2 · 2x · 3y + (3y)^2$
$= 4x^2 - 12xy + 9y^2$
（3）$(-\dfrac{3}{2}m + 2n)^2$
$= (-\dfrac{3}{2}m)^2 + 2 · (-\dfrac{3}{2}m) · 2n + (2n)^2$
$= \dfrac{9}{4}m^2 - 6mn + 4n^2$
（4）$(-x - 4y)^2$
$= (-x)^2 + 2 · (-x) · (-4y) + (-4y)^2$
$= x^2 + 8xy + 16y^2$
（5）$(2x - y)(y - 2x)$
$= 2x · y + 2x · (-2x) + (-y) · y + (-y) · (-2x)$
$= 2xy - 4x^2 - y^2 + 2xy$
$= -4x^2 + 4xy - y^2$
（或利用$(a-b)( - (a-b)) = - (a-b)^2$，直接得$- (2x - y)^2 = -4x^2 + 4xy - y^2$）
（6）$(x - 2)^2 + (x + 3)(x + 1)$
$= x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 3$
$= 2x^2 + 7$

8. 观察下列等式：
① $\dfrac{3^2 - 1^2}{2} = 2 × 2$，
② $\dfrac{4^2 - 2^2}{2} = 2 × 3$，
③ $\dfrac{5^2 - 3^2}{2} = 2 × 4$，
④ $\dfrac{6^2 - 4^2}{2} = 2 × 5$，
…
猜想第$n$个等式，并说明猜想的正确性.

由题中给出的四个等式可得：
第①个等式：$\frac{3^2 - 1^2}{2} = 2 × 2$；
第②个等式：$\frac{4^2 - 2^2}{2} = 2 × 3$；
第③个等式：$\frac{5^2 - 3^2}{2} = 2 × 4$；
第④个等式：$\frac{6^2 - 4^2}{2} = 2 × 5$；
从这些等式中归纳得到：
第$n$个等式左边为$\frac{(n + 2)^2 - n^2}{2}$，右边为$2(n + 1)$。
故猜想第$n$个等式为$\frac{(n + 2)^2 - n^2}{2} = 2(n + 1)$。
验证：
左边$=\frac{(n + 2)^2 - n^2}{2}$
$=\frac{n^2 + 4n + 4 - n^2}{2}$
$=\frac{4n + 4}{2}$
$= 2(n + 1)$
$=$右边
综上，第$n$个等式为$\frac{(n + 2)^2 - n^2}{2} = 2(n + 1)$，猜想正确。