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18. 在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$BC = 6$，$S_{△ ABC} = 6$。以 $BC$ 为边作周长为 $18$ 的矩形 $BCDE$，$M$，$N$ 分别为 $AC$，$CD$ 的中点，连接 $MN$。请你画出图形，并直接写出线段 $MN$ 的长。
答案
18. 解: $ \because BC = 6 $, $ S_{△ ABC} = 6 $, $ \therefore △ ABC $ 中边 $ BC $ 上的高为 $ 6 × 2 ÷ 6 = 2 $, 而矩形 $ BCDE $ 的周长为 18, $ BC = 6 $, $ \therefore BE = CD = 18 ÷ 2 - 6 = 3 $. 如图①, 当矩形 $ BCDE $ 和 $ △ ABC $ 在 $ BC $ 同侧时, 过点 $ A $ 作 $ AF ⊥ BC $, 垂足为 $ F $, 与 $ ED $ 交于点 $ G $, 连接 $ AD $, $ \because AB = AC $, $ \therefore BF = CF = 3 $. $ \because ∠ GFC = ∠ FCD = ∠ CDG = 90^{\circ} $, $ \therefore $ 四边形 $ CFGD $ 是矩形, $ \therefore DG = CF = 3 $. $ \because \dfrac{1}{2} × 6 × AF = 6 $, $ \therefore AF = 2 $, $ \therefore AG = GF - AF = 3 - 2 = 1 $, $ \therefore AD = \sqrt{DG^{2}+AG^{2}} = \sqrt{3^{2}+1^{2}} = \sqrt{10} $. $ \because M $, $ N $ 分别为 $ AC $, $ CD $ 的中点, $ \therefore MN = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{\sqrt{10}}{2} $. 如图②, 当矩形 $ BCDE $ 和 $ △ ABC $ 在 $ BC $ 异侧时, 过点 $ A $ 作 $ AF ⊥ ED $, 垂足为 $ F $, 与 $ BC $ 交于点 $ G $, 连接 $ AD $, 可知 $ BG = CG $, $ AG = 2 $, $ GF = 3 $, $ F $ 为 $ ED $ 的中点, $ \therefore AF = 5 $, $ DF = 3 $, $ \therefore AD = \sqrt{AF^{2}+DF^{2}} = \sqrt{5^{2}+3^{2}} = \sqrt{34} $. $ \because M $, $ N $ 分别为 $ AC $, $ CD $ 的中点, $ \therefore MN = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{\sqrt{34}}{2} $. 综上所述, $ MN $ 的长为 $ \dfrac{\sqrt{10}}{2} $ 或 $ \dfrac{\sqrt{34}}{2} $.
(第18题)
19. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $BC$ 上的一点(不与点 $B$，$C$ 重合)，点 $D$ 关于直线 $AE$ 的对点是点 $F$，连接 $AF$，$BF$，延长直线 $AE$，$FB$ 交于点 $P$，连接 $DF$。
(1) 在图①中补全图形，$∠ AFD$
(2) 猜想 $∠ APB$ 和 $∠ DFP$ 的数量关系，并证明。
(1) 在图①中补全图形，$∠ AFD$
=
$∠ BAP$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)；(2) 猜想 $∠ APB$ 和 $∠ DFP$ 的数量关系，并证明。
答案
19. (1) 解: 补全图形如图, 由对称得 $ AD = AF $, $ AE ⊥ DF $, $ \therefore ∠ ADF = ∠ AFD $, $ ∠ DAP + ∠ ADF = 90^{\circ} $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $ \therefore ∠ BAD = ∠ DAP + ∠ BAP = 90^{\circ} $, $ \therefore ∠ ADF = ∠ BAP $, $ \therefore ∠ AFD = ∠ BAP $, 故答案为 $ = $.
(2) $ ∠ APB = ∠ DFP = 45^{\circ} $. 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $ \therefore AD = AB $. $ \because AD = AF $, $ \therefore AF = AB $, $ \therefore ∠ ABF = ∠ AFB $. $ \because ∠ AFB = ∠ AFD + ∠ DFP $, $ ∠ ABP = ∠ BAP + ∠ APB $, $ \therefore ∠ DFP + ∠ AFD = ∠ APB + ∠ BAP $, 由 (1) 知 $ ∠ AFD = ∠ BAP $, $ \therefore ∠ DFP = ∠ APB $. $ \because AE ⊥ DF $, $ \therefore ∠ DFP = ∠ APB = 45^{\circ} $.
(2) $ ∠ APB = ∠ DFP = 45^{\circ} $. 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $ \therefore AD = AB $. $ \because AD = AF $, $ \therefore AF = AB $, $ \therefore ∠ ABF = ∠ AFB $. $ \because ∠ AFB = ∠ AFD + ∠ DFP $, $ ∠ ABP = ∠ BAP + ∠ APB $, $ \therefore ∠ DFP + ∠ AFD = ∠ APB + ∠ BAP $, 由 (1) 知 $ ∠ AFD = ∠ BAP $, $ \therefore ∠ DFP = ∠ APB $. $ \because AE ⊥ DF $, $ \therefore ∠ DFP = ∠ APB = 45^{\circ} $.
