20. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $G$ 在对角线 $BD$ 上（不与点 $B$，$D$ 重合），$GE⊥ DC$ 于点 $E$，$GF⊥ BC$ 于点 $F$，连接 $AG$。
(1) 写出线段 $AG$，$GE$，$GF$ 长度之间的数量关系，并说明理由；
(2) 若正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，$∠ AGF = 105^{\circ}$，求线段 $BG$ 的长。

20. (1) $ AG^{2} = GE^{2} + GF^{2} $, 理由: 连接 $ CG $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $ \therefore $ 点 $ A $, $ C $ 关于对角线 $ BD $ 对称. $ \because $ 点 $ G $ 在 $ BD $ 上, $ \therefore GA = GC $. $ \because GE ⊥ DC $, $ GF ⊥ BC $, $ \therefore ∠ GEC = ∠ ECF = ∠ CFG = 90^{\circ} $, $ \therefore $ 四边形 $ EGFC $ 是矩形, $ \therefore CF = GE $. $ \because $ 在 $ \mathrm{Rt} △ GFC $ 中, $ CG^{2} = CF^{2} + GF^{2} $, $ \therefore AG^{2} = GE^{2} + GF^{2} $.
(2) $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{6} $

21. 如图①，正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是正方形 $ABCD$ 边 $AB$ 下方一点，连接 $AE$，$BE$，$OE$，已知 $OA = OE$，且 $∠ OAE = 75^{\circ}$。
(1) 试判断 $△ OBE$ 的形状，并说明理由；
(2) 如图②，连接 $DE$，求证：$\sqrt{2}AE + BE = DE$。

21. (1) 解: $ △ OBE $ 为等边三角形. 理由: $ \because OA = OE $, $ \therefore ∠ OEA = ∠ OAE = 75^{\circ} $. $ \because ∠ OAE + ∠ OEA + ∠ AOE = 180^{\circ} $, $ \therefore ∠ AOE = 30^{\circ} $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形, $ \therefore AO = BO $, $ ∠ AOB = 90^{\circ} $, $ \therefore ∠ BOE = 60^{\circ} $, $ \therefore △ OBE $ 为等边三角形.
(2) 证明: 如图, 过点 $ A $ 作 $ AF ⊥ AE $ 交 $ BE $ 的延长线于点 $ F $, $ \therefore ∠ EAF = 90^{\circ} $. $ \because △ OEB $ 为等边三角形, $ \therefore ∠ OEB = 60^{\circ} $. $ \because ∠ OEA = 75^{\circ} $, $ \therefore ∠ AEF = 180^{\circ} - ∠ OEB - ∠ OEA = 45^{\circ} $, $ \therefore △ AEF $ 为等腰直角三角形, $ \therefore AE = AF $, $ EF = \sqrt{2}AE $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形, $ \therefore AD = AB $, $ ∠ DAB = 90^{\circ} $, $ \therefore ∠ DAE = ∠ BAF $. 在 $ △ ADE $ 和 $ △ ABF $ 中, $ \begin{cases} AD = AB, \\ ∠ DAE = ∠ BAF, \\ AE = AF, \end{cases} $ $ \therefore △ ADE ≌ △ ABF (SAS) $, $ \therefore DE = BF $. $ \because BF = EF + BE $, $ \therefore \sqrt{2}AE + BE = DE $.