22. (本小题 12 分)如图,在菱形$ABCD$中,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,延长$BC$至点$F$,使$CF = BE$,连接$DF$.
(1) 求证:四边形$AEFD$是矩形;
(2) 若$BF = 6$,$DF = 3$,求$AD$的长.

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$CF=BE$，
∴$EF=EC+CF=EC+BE=BC$，
∴$AD=EF$。
∵$AD// BC$，$F$在$BC$延长线上，
∴$AD// EF$。
∴四边形$AEFD$是平行四边形。
∵$AE⊥ BC$，
∴$∠ AEF=90°$。
∴平行四边形$AEFD$是矩形。
(2) 解：
∵四边形$AEFD$是矩形，
∴$DF=AE=3$，$AD=EF$。
设$AD=BC=x$，$BE=CF=y$。
∵$BF=6$，
∴$BC+CF=x+y=6$，即$y=6-x$。
∵$AE⊥ BC$，
∴在$Rt△ ABE$中，$AB^2=AE^2+BE^2$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD=x$。
∴$x^2=3^2+y^2$。
将$y=6-x$代入得：$x^2=9+(6-x)^2$，
解得$x=\frac{15}{4}$。
∴$AD$的长为$\frac{15}{4}$。