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5. 设直角三角形的两条直角边长分别为 $a$ 和 $b$，斜边长为 $c$。
(1) 若 $a=\sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{2}$，则 $c$ 的值为；
(2) 若 $b = 5$，$c = 13$，则 $a$ 的值为。
(1) 若 $a=\sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{2}$，则 $c$ 的值为；
(2) 若 $b = 5$，$c = 13$，则 $a$ 的值为。
答案
(1)
根据勾股定理，对于直角三角形，有$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，已知$a = \sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{2}$，则：
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6 + 8}=\sqrt{14}$。
(2)
同样根据勾股定理$a^{2}=c^{2}-b^{2}$，已知$b = 5$，$c = 13$，则：
$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
故答案依次为：(1)$\sqrt{14}$；(2)$12$。
根据勾股定理，对于直角三角形，有$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，已知$a = \sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{2}$，则：
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6 + 8}=\sqrt{14}$。
(2)
同样根据勾股定理$a^{2}=c^{2}-b^{2}$，已知$b = 5$，$c = 13$，则：
$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
故答案依次为：(1)$\sqrt{14}$；(2)$12$。
6. 如图，数字 36 和 64 分别代表所在正方形的面积，则 A 所代表的正方形的面积为。
答案
100
解析
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
已知两个小正方形的面积分别为36和64，即直角三角形两条直角边的平方分别为36和64。
所以A所代表的正方形的面积（即斜边的平方）为36 + 64 = 100。
已知两个小正方形的面积分别为36和64，即直角三角形两条直角边的平方分别为36和64。
所以A所代表的正方形的面积（即斜边的平方）为36 + 64 = 100。
7. 在 $△ ABC$ 中，已知 $AB = AC = 13$，$BC = 24$，则中线 $AD$ 的长是。
答案
∵AB=AC=13，知△ABC为等腰三角形，
∴中线AD同时为高（三线合一），即AD⊥BC，
∵BC=24，
∴BD=12，
在Rt△ABD中，
AB=13，BD=12，
根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$
$=\sqrt{13^{2}-12^{2}}$
$=\sqrt{169-144}$
$=\sqrt{25}$
$=5$
答案为5。
∴中线AD同时为高（三线合一），即AD⊥BC，
∵BC=24，
∴BD=12，
在Rt△ABD中，
AB=13，BD=12，
根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$
$=\sqrt{13^{2}-12^{2}}$
$=\sqrt{169-144}$
$=\sqrt{25}$
$=5$
答案为5。
8. 如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为 2，剪 4 张这样的直角三角形纸片，把它们按图②的方式放入一个边长为 3 的正方形中(直角三角形纸片不重叠、无缝隙)，则图②中阴影部分的面积为。
答案
设直角三角形的另一条直角边长为$x$。
由题意，4个直角三角形放入边长为3的正方形中，不重叠无缝隙，可知大正方形边长等于直角三角形两条直角边之和，即$2 + x = 3$，解得$x = 1$。
每个直角三角形面积为$\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$，4个直角三角形总面积为$4 × 1 = 4$。
大正方形面积为$3^2 = 9$，故阴影部分面积为$9 - 4 = 5$。
5
由题意，4个直角三角形放入边长为3的正方形中，不重叠无缝隙，可知大正方形边长等于直角三角形两条直角边之和，即$2 + x = 3$，解得$x = 1$。
每个直角三角形面积为$\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$，4个直角三角形总面积为$4 × 1 = 4$。
大正方形面积为$3^2 = 9$，故阴影部分面积为$9 - 4 = 5$。
5
9. 如图，在锐角三角形 $ABC$ 中，$AB = BC = 5$，$AE$ 为边 $BC$ 上的高，$BE = 4$，求 $AC$ 的长。
答案
$\sqrt{10}$
解析
在锐角三角形 $ABC$ 中，$AB = BC = 5$，$AE$ 为边 $BC$ 上的高，$BE = 4$。
因为 $BC = 5$，$BE = 4$，所以 $CE = BC - BE = 5 - 4 = 1$。
在 $Rt△ AEB$ 中，$AB = 5$，$BE = 4$，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$
$AE^2 + 4^2 = 5^2$
$AE^2 = 25 - 16 = 9$
$AE = 3$
在 $Rt△ AEC$ 中，$AE = 3$，$CE = 1$，由勾股定理得：
$AC^2 = AE^2 + CE^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$
$AC = \sqrt{10}$
因为 $BC = 5$，$BE = 4$，所以 $CE = BC - BE = 5 - 4 = 1$。
在 $Rt△ AEB$ 中，$AB = 5$，$BE = 4$，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$
$AE^2 + 4^2 = 5^2$
$AE^2 = 25 - 16 = 9$
$AE = 3$
在 $Rt△ AEC$ 中，$AE = 3$，$CE = 1$，由勾股定理得：
$AC^2 = AE^2 + CE^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$
$AC = \sqrt{10}$
10. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AD$ 平分 $∠ CAB$ 交 $BC$ 于点 $D$，$AC = 6$，$BC = 8$，求 $S_{△ ABD}$。
答案
$15$
解析
在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
设$DC=x$，则$BD=BC-DC=8-x$。
因为$AD$平分$∠CAB$，根据角平分线性质，点$D$到$AC$和$AB$的距离相等，即$D$到$AB$的距离为$x$。
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}$，其中$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC· DC=\frac{1}{2}×6x=3x$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB· x=\frac{1}{2}×10x=5x$。
则$3x+5x=24$，解得$x=3$。
$BD=8-x=5$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AC=\frac{1}{2}×5×6=15$。
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
设$DC=x$，则$BD=BC-DC=8-x$。
因为$AD$平分$∠CAB$，根据角平分线性质，点$D$到$AC$和$AB$的距离相等，即$D$到$AB$的距离为$x$。
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}$，其中$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC· DC=\frac{1}{2}×6x=3x$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB· x=\frac{1}{2}×10x=5x$。
则$3x+5x=24$，解得$x=3$。
$BD=8-x=5$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AC=\frac{1}{2}×5×6=15$。
