11. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CM⊥ AB$ 于点 $M$。
(1) 若 $AC = 6$，$BC = 8$，则 $AB$ 的长为，$CM$ 的长为；
(2) 若 $AM = 2$，$BM = 8$，求 $CM$ 的长。

(1) 在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CM$，即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CM$，解得$CM=\frac{48}{10}=4.8$。
(2) 设$CM=x$，$AC=a$，$BC=b$。
在$Rt△ACM$中，$a^{2}=AM^{2}+CM^{2}=2^{2}+x^{2}=4 + x^{2}$。
在$Rt△BCM$中，$b^{2}=BM^{2}+CM^{2}=8^{2}+x^{2}=64 + x^{2}$。
在$Rt△ABC$中，$AB=AM + BM=10$，$a^{2}+b^{2}=AB^{2}=100$。
所以$4 + x^{2}+64 + x^{2}=100$，$2x^{2}=32$，$x^{2}=16$，$x=4$（$x=-4$舍去），即$CM=4$。
(1) 10；4.8
(2) 4

1. 已知一个直角三角形的斜边长为 4，周长为 $4 + 3\sqrt{2}$，求这个三角形的面积。

$\frac{1}{2}$

设直角三角形两直角边分别为$a$，$b$，斜边$c=4$。
由周长为$4 + 3\sqrt{2}$，得$a + b + c = 4 + 3\sqrt{2}$，即$a + b = 3\sqrt{2}$。
由勾股定理，得$a^2 + b^2 = c^2 = 16$。
$\because (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$\therefore (3\sqrt{2})^2 = 16 + 2ab$。
即$18 = 16 + 2ab$，解得$ab = 1$。
面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2}$。

2. 如图，$△ ACB$ 和 $△ ECD$ 都是等腰直角三角形，$∠ ACB = ∠ DCE = 90^{\circ}$，点 $E$ 在边 $AB$ 上。探究线段 $AE$，$BE$ 和 $DE$ 的数量关系，并给出证明。

AE² + BE² = DE².
证明：
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，EC=DC，∠CAB=∠CBA=45°.
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠BCE=∠ACD.
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE \end{array} $，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45°.
∵∠CAB=45°，
∴∠DAE=∠CAB + ∠CAD=45°+45°=90°.
在Rt△DAE中，由勾股定理得：AE² + AD² = DE².
∵AD=BE，
∴AE² + BE² = DE².