5. 在 $△ ABC$ 中，$AB = \sqrt{3}$，$AC = \sqrt{7}$，$BC = 2$，则 $△ ABC$ 的面积是.

解：
∵ $ AB = \sqrt{3} $，$ AC = \sqrt{7} $，$ BC = 2 $，
∴ $ AB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 $，$ BC^2 = 2^2 = 4 $，$ AC^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 $。
∵ $ AB^2 + BC^2 = 3 + 4 = 7 = AC^2 $，
∴ $ △ABC $ 是直角三角形，且 $ ∠B = 90° $。
∴ $ S_{△ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × \sqrt{3} × 2 = \sqrt{3} $。
$\sqrt{3}$

6. 在 $△ ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边.若 $(b + a)·(b - a) = c^{2}$，则 $∠ B$ 的度数为.

由题意得：
$(b + a)(b - a) = c^{2}$，
$b^{2} - a^{2} = c^{2}$，
$a^{2} + c^{2} = b^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^{2} + c^{2} = b^{2}$，则三角形是直角三角形，且直角位于$b$所对的角，即$∠ B$。
所以，$∠ B = 90^{\circ}$。
答案为：$90^{\circ}$。

7. 如图，在 $3×5$ 的网格图中，每个小方格的边长为 $1$，则 $∠ ABC$ 的度数为.

1. 建立坐标系，设每个小方格边长为1，确定点坐标：设A(0,2)，B(3,1)，C(1,0)。
2. 计算AC长度：A(0,2)到C(1,0)，水平距离1，垂直距离2，AC=√(1²+2²)=√5。
3. 计算BC长度：B(3,1)到C(1,0)，水平距离2，垂直距离1，BC=√(2²+1²)=√5。
4. 计算AB长度：A(0,2)到B(3,1)，水平距离3，垂直距离1，AB=√(3²+1²)=√10。
5. 验证勾股定理逆定理：AC²+BC²=(√5)²+(√5)²=10，AB²=(√10)²=10，故AC²+BC²=AB²，∠ACB=90°。
6. 因AC=BC，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°。
45°

8. 若一个三角形的三边长之比为 $3:4:5$，且周长为 $60\ \mathrm{cm}$，则这个三角形的面积为$\mathrm{cm}^{2}$.

设三角形的三边长分别为 $3x\,\mathrm{cm}$，$4x\,\mathrm{cm}$，$5x\,\mathrm{cm}$。
根据周长为 $60\,\mathrm{cm}$，得：
$3x + 4x + 5x = 60$
$12x = 60$
$x = 5$
因此，三角形的三边长为 $15\,\mathrm{cm}$，$20\,\mathrm{cm}$，$25\,\mathrm{cm}$。
验证是否满足勾股定理：
$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，$25^2 = 625$，
因为 $15^2 + 20^2 = 25^2$，所以该三角形为直角三角形。
面积为：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = 150\,\mathrm{cm}^2$
答案为：$150$

9. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = 3$，$AC = 5$，边 $BC$ 上的中线 $AD = 2$，延长 $AD$ 到点 $E$，使 $DE = AD$，连接 $CE$.
(1) 求证：$CE⊥ AE$；
(2) 求 $BC$ 的长.

(1) 见上述证明；(2) $2\sqrt{13}$。

(1) ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。
在△ADB和△EDC中，
$\{\begin{array}{l} AD=ED \\ ∠ADB=∠EDC \\ BD=CD \end{array} $，
∴△ADB≌△EDC(SAS)，∴CE=AB=3。
∵AD=2，DE=AD，∴AE=AD+DE=4。
在△ACE中，CE=3，AE=4，AC=5，
∵$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即$CE^2 + AE^2 = AC^2$，
∴△ACE是直角三角形，∠E=90°，∴CE⊥AE。
(2) 在Rt△CDE中，DE=2，CE=3，
由勾股定理得：$CD^2 = CE^2 + DE^2 = 3^2 + 2^2 = 13$，∴$CD = \sqrt{13}$。
∵AD是BC边上的中线，∴BC=2CD=2$\sqrt{13}$。